Queremos aplicar la generación de la función de método con Hayman del método para determinar asymptotics de los coeficientes, como en
ENLACE.
Vamos
$$\begin{align*}
p_n &= (6n^2+6n+1) p_{n-1}+(4n^2-9n^4) p_{n-2}, \quad p_{-1} = 1, \quad p_0=1,
\\
q_n &= (6n^2+6n+1) q_{n-1}+(4n^2-9n^4)q_{n-2}, \quad q_{-1} = 0, \quad q_0=1,
\\
r_n &= \frac{p_n}{q_n}.
\end{align*}$$
Por lo que el $r_n$ son los convergents de la continuación de la fracción:
$$
r_0 = 1,\quad
r_1 = 1+\cfrac{-5}{13},\quad
r_2 = 1+\cfrac{-5}{13+\cfrac{-128}{37}},\quad
r_3 = 1+\cfrac{-5}{13+\cfrac{-128}{37+\cfrac{-693}{73}}},
$$
Ahora un problema es que la generación de funciones
$$
\sum_{n=0}^\infty p_n x^n,\qquad\text{y}\qquad
\sum_{n=0}^\infty p_n \frac{x^n}{n!}
$$
ambos tienen radio de convergencia a cero. Así que no son buenos en Hayman del método. Así que vamos a utilizar "Bessel" funciones de generación
$$
f(x) = \sum_{n=0}^\infty p_{n-1}\frac{x^n} {n!)^2},\qquad
g(x) = \sum_{n=0}^\infty q_{n-1}\frac{x^n} {n!)^2} .
$$
El uso de la recurrencia para calcular las ecuaciones diferenciales de estas satisfacer. Son
$$\begin{align*}
L[f]&=0,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=1, \tag{1}
\\
L[g]&=1,\qquad g(0)=0,\qquad g'(0)=1, \tag{2}
\end{align*}$$
donde de segundo orden lineal diferencial operador $L$ está dado por
$$
L[\phi](x) = x(1-3x)^2 \phi(x)+(1-3x)(1-9x)\phi'(x)+(-1+5x)\phi(x)
$$
Ahora la solución de (1) es
$$
f(x) = (1-3x)^{-1/3} = 1 + x + 2 x^2 + \frac{14}{3} x^3 + \frac{35}{3} x^4 +O(x^5) .
$$
El coeficiente de muestra
$$
p_{n-1} \sim \frac{(n!)^2 3^n n^{-2/3}}{\Gamma(1/3)}
$$
Con la ayuda de Maple, puedo obtener la solución de (2) como
$$
g(x) = \frac{3}{2}(1-3x)^{-2/3} +
\sqrt{3}\arctan\left(\frac{1+2(1-3x)^{1/3}}{\sqrt{3}}\right)(1-3x)^{-1/3}-
\frac{9+2\pi\sqrt{3}}{6}(1-3x)^{-1/3}
$$
y en potencias de $(1-3x)$,
$$
g(x) = \frac{3}{2}(1-3x)^{-2/3}-
\left(\frac{\pi}{2\sqrt{3}}+\frac{3}{2}\right)(1-3x)^{-1/3}+\frac{3}{2}+
S\left((1-3x)^{1/3}\right) .
$$
Ahora tenemos que examinar los coeficientes de a $x=0$ para la serie de Taylor. El primer término tiene un coeficiente dado asintóticamente por $C 3^n n^{-1/3}$.
El segundo término por $C 3^n n^{-2/3}$, el término constante por $0$. Así que en total tenemos
$$
q_{n-1} \sim C (n!)^2 3^n n^{-1/3} .
$$
Así que el convergente
$$
r_{n-1} = \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} \sim C n^{-2/3+1/3}
$$
va a cero. El valor de la continuidad de la fracción es $0$.
Tenga en cuenta que el diferencial de operador $L$ en términos de $y=1-3x$ es
$$
9y^2(1-y)\phi(x)+9y(2-3y)\phi'(y)+(2-5y)\phi(y)
$$
con el polinomio indicial $9r(r-1)+18r+2 = (3r+2)(3r+1)$ raíces $-1/3, -2/3$. Esta es la razón para el tipo de serie que tenemos.
