Un compacto Hausdorff espacio de $X$ es finito si y sólo si $C(X)$ es finito-dimensional

Question

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio. Suponga que el espacio vectorial real de los valores de funciones continuas en $X$ es finito-dimensional. Me gustaría concluir que $X$ es finito.

Sin duda, a la inversa implicación es trivial.

Answer 1

Por contraposición, supongamos que $X$ es infinito. Por la propiedad de Hausdorff y la inducción, hay un countably familia infinita $(O_n)_{n=1}^\infty$ de los pares no vacía de subconjuntos abiertos de $X$. Para cada una de las $n$ pick $x_n\in O_n$. Como $X$ es normal, por Urysohn del lexema, para cada una de las $n$ existe una función continua $f_n$ tal que $f_n(x_n)=1$ y $$\{x\in X\colon f_n(x)\neq 0\}\subseteq O_n.$$ Clearly, the set $\{f_n\colon n\in \mathbb{N}\}$ is linearly independent, so $C(X)$ es de dimensiones infinitas.