Sustituir el "si $x ≤ y$, entonces el $x + z ≤ y + z$" axioma en reales.

Question

Cómo puedo probar que no podemos (o tal vez puede reemplazar) la preservación de la orden en virtud de la adición es decir, "Si $x \leq y$, $x + z \leq y + z$ "si $0<x$$0<y$,$0<x+y$" en los axiomas de los números reales $(R,+,.,<)$?

Edit: Axioma de los reales:

1. El conjunto $\Bbb{R}$ es un campo.

2. El campo $\Bbb{R}$ es ordenado.

   si $a ≤ b$ $ a + c ≤ b + c$

   si $0 ≤ a$ $0 ≤ b$ $0 ≤ a×b$

3. El orden es Dedekind-completo; es decir, todos los no-vacío subconjunto S de $\Bbb{R}$ con un límite superior en $\Bbb{R}$ tiene al menos un límite superior (también llamado supremum) en $\Bbb{R}$.

Answer 1

La sustitución del axioma haría ciertas estructuras en los modelos que originalmente no tenían modelos. Tomar, por ejemplo, el estándar de $\mathbb{R}$ pero definir cada número en el intervalo de $[-10,-5)$ a ser mayor que cualquier número en el intervalo de $[-5,-4)$. (Además, debemos especificar que $[-4,\infty)$ viene después de $[-10,-5)$ $(-\infty, -10)$ viene antes de $[-5,4)$... básicamente podemos muck con el fin de cualquier enteramente negativo de la mitad de intervalos cerrados).

Vemos que $<$ sigue siendo asimétrica, densa, y D-completa. Además es invariable. La afirmación de que "$x \le y \rightarrow x + z \le y + z$" es falsa: ejemplo de $-7 \le -6$ pero $-7 + 1 \ge -6 + 1$, pero el nuevo axioma es cierto.