¿Cuándo una función es una permutación de los enteros?

Question

¿Cuándo una función es una permutación de los enteros?

En su artículo de 2011 sobre la conjetura de Collatz aquí Lagarias escribe;

> Collatz’s  original  function, which is a permutation of the integers...

¿Pero cuándo una función sobre los enteros es una permutación de los enteros? Yo entiendo que una permutación debe ser una biyección de un dominio sobre sí mismo porque sólo así se reposiciona cada elemento del dominio de forma única en el rango.

Pero si consideramos la función de Collatz, exactamente una sexta parte de los enteros son mapeados por dos elementos distintos; a saber, cada número par equivalente a $1\mod 3$ a la que se asigna por ambos $3x+1$ y $x/2$ Por ejemplo, el número 16.

Esto no parece ser una permutación porque $16$ y otros números aparecerán varias veces en el rango.

¿En qué me estoy equivocando (o Lagarias)? Si es un error suyo, ¿qué crees que quiso decir con esto?

Answer 1

Collatz función original se definió como sigue: Considerar la permutación infinita $$ P ={1 2 3 4 5 6 \cdots \choose 1 3 2 5 7 4 \cdots} $$ tomando $n\to f(n)$ donde $f : \mathbb{N}^+ \mapsto \mathbb{N}^+$ viene dada por $$f(3n) = 2n, f(3n1) = 4n1, f(3n2) =4n 3.$$ Esto es diferentes de la función Collatz definida en el $3n+1$ -¡Problema!

Referencia: Jeffrey C. Lagarias: El $3x + 1$ El problema: una bibliografía comentada (1963-1999) ; página 37.

Edición: Una permutación de un conjunto $X$ es un elemento del grupo ${\rm Sym}(X)$ que consiste en todos los mapas biyectivos de $X$ a $X$ . Si $|X|=n$ entonces ${\rm Sym}(X)\cong S_n$ el grupo simétrico.