$\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\cdot, \mathcal{G})$ es un Funtor exacto

Question

Supongamos que $(X, \mathcal{O}_X)$ es un espacio circular. Si $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ son gavillas de $\mathcal{O}_X$-módulos, a continuación, la asignación de $$U \mapsto \text{Hom}_{\mathcal{O}_X|U}(\mathcal{F}|U, \mathcal{G}|U)$$ hace una gavilla de $\mathcal{O}_X$-módulos. (La restricción debe ser natural.)

La cuestión es mostrar que el functor $\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\cdot, \mathcal{G})$ exacto (fijo gavilla $\mathcal{G}$), es decir, si tenemos una secuencia exacta de las poleas $$\mathcal{F}' \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}'' \rightarrow 0$$ a continuación, la secuencia $$0 \rightarrow \text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}'', \mathcal{G}) \rightarrow \text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \rightarrow \text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}', \mathcal{G})$$ es exacto.

Mi intento es como sigue: por definición exacta de la secuencia de las poleas, tenemos que mostrar que la inducida por la secuencia de los tallos $$0 \rightarrow (\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}'', \mathcal{G}))_x \rightarrow (\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))_x \rightarrow (\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}', \mathcal{G}))_x$$ es exacto. Vamos a considerar la primera en la que necesitamos para mostrar el mapa es inyectiva. Vamos a tomar dos gérmenes $f, g \in (\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}'', \mathcal{G}))_x$ de manera tal que sus imágenes son iguales en $(\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))_x$. Vamos a denotar el mapa de $ \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}''$$\delta$. Entonces, por la definición del tallo (directa límite), tenemos $$(f \circ \delta)_W = (g \circ \delta)_W \text{ i.e. } f_W \circ \delta_W = g_W \circ \delta_W$$ (como gavilla hom) para algún conjunto abierto $W$ contiene $x$; y queremos demostrar que las $f_Z = g_Z$ para un conjunto abierto $Z$ contiene $x$. Pero esto no parece posible, ya que sólo sabemos que $\delta_W$ es surjective debajo del límite. Así que no me parece que de todos modos para producir tales set $Z$.

EDIT: Lema 16.3 en este documento es probablemente lo que necesito. Pero, por desgracia, la prueba se omite. Alternativamente, también se afirma sin pruebas que

si es o no una de morfismos de poleas es un monomorphism, epimorphism, o isomorfismo puede ser probado en los tallos

en la Wikipedia.

Answer 1

Por definición, una secuencia $\mathcal{F}^{\prime}\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}^{\prime\prime}\to0$ $\mathcal{O}_X$- los módulos se haga exacta si y sólo si \begin{equation} \forall x\in X,\,\mathcal{F}^{\prime}_x\to\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}^{\prime\prime}_x\to0\,\,(*) \end{equation} se haga de la secuencia exacta de $\mathcal{O}_{X,x}$-módulos; entonces: \begin{equation} \forall x\in X,\,0\to\hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}^{\prime\prime}_x,\mathcal{G}_x)\to\hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}_x,\mathcal{G}_x)\to\hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}^{\prime}_x,\mathcal{G}_x)\,\,(**) \end{equation} son a la izquierda de la secuencia exacta; porque (controvariant) functors $\hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(\_,\mathcal{G}_x)$ son derecho-exacto.

Por $(*)$, se puede afirmar que \begin{equation} \forall U\subseteq X\,\text{open},\,\mathcal{F}^{\prime}_{|U}\to\mathcal{F}_{|U}\to\mathcal{F}^{\prime\prime}_{|U}\to0\,\,(\sharp) \end{equation} son derecho-exacto seuences de $\mathcal{O}_{X|U}$-módulos; en consecuencia \begin{gather} \forall U\subseteq X\,\text{open},\,0\to\hom_{\mathcal{O}_{X|U}}(\mathcal{F}^{\prime\prime}_{|U},\mathcal{G}_{|U})\to\hom_{\mathcal{O}_{X|U}}(\mathcal{F}_{|U},\mathcal{G}_{|U})\to\hom_{\mathcal{O}_{X|U}}(\mathcal{F}^{\prime\prime}_{|U},\mathcal{G}_{|U})\\ 0\to(\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}^{\prime\prime},\mathcal{G}))(U)\to(\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G}))(U)\to(\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}^{\prime\prime},\mathcal{G}))(U)\,\,(\sharp\sharp) \end{reunir} son a la izquierda de la secuencia exacta de $\mathcal{O}_X$-módulos, ya que los (controvariant) functors $\hom_{\mathcal{O}_X}(\_,\mathcal{G})$ son de derecha exacto y la restricción funcotrs son exactas; y en particular: \begin{equation} \forall x\in X,\,0\to(\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}^{\prime\prime},\mathcal{G}))_x\to(\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G}))_x\to(\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}^{\prime\prime},\mathcal{G}))_x\,\,(\sharp\sharp\sharp) \end{equation} son a la izquierda de la secuencia exacta de $\mathcal{O}_{X,x}$-módulos, ya que los (controvariant) functors $\hom_{\mathcal{O}_X}(\_,\mathcal{G})$ son de derecha exacto y la localización de functors son exactas.

En otras palabras: $(*)$ implica $(\sharp\sharp\sharp)$, que es el reclamo!