Supongamos que usted tiene un homotopy equivalencia $f : X \to Y$ con homotopy inverso $g : Y \to X$ donde $Y$ es algo de espacio discreto (de cualquier cardinalidad, finito o infinito). El espacio de $X$ es compacto, por lo $f(X) \subset Y$ es compacto, pero la única compacto subespacios de un espacio discreto son finitos, por lo $f(X)$ es finito.
Desde $f$ $g$ son inversas homotopy equivalencias, $f \circ g$ es homotópica a $\operatorname{id}_Y$, es decir, hay un homotopy $H : Y \times [0,1] \to Y$$H(y,0) = f(g(y))$$H(y,1) = y$. Pero $Y$ es discreto, por lo $H$ tiene que ser constante en conectado subespacios, y $\{y\} \times [0,1]$ está conectado, por lo $f(g(y)) = y$. Pero la imagen de $f$ es finita, mientras que la imagen de la identidad es todo de $Y$, lo $Y$ es finito.
Pero $X$ tiene un número infinito de ruta de componentes conectados (cada singleton es un camino-componente conectado), mientras que un número finito de espacio discreto sólo tiene un número finito de ruta de componentes conectados. Desde un homotopy equivalencia conserva el número de ruta de componentes conectados, esto es una contradicción.
