Integrar una división de polinomios

Question

Hola tengo la siguiente integral: $$\int \frac{2x}{x^2+6x+3}\, dx$$

Hice algunos cambios como: $$\int \dfrac{2x+6-6}{x^2+6x+3}\, dx$$

entonces sí: $$\int \dfrac{2x+6}{x^2+6x+3}\, dx -\int\dfrac{6}{x^2+6x+3}\, dx$$

y así: $$\ln(x^2+6x+3)-\int\dfrac{6}{x^2+6x+3}\, dx$$

Bien, he descompuesto $$\frac{2x}{x^2+6x+3}$$ en: $$\frac{3+\sqrt6}{\sqrt6(x+\sqrt 6+3)} + \frac{3-\sqrt6}{\sqrt6 (-x+\sqrt6-3)}$$

¿Cómo puedo integrar estas expresiones?

Answer 1

Un comienzo: Tenga en cuenta que $x^2+6x+3=0$ tiene las raíces $\alpha=-3+\sqrt{6}$ y $\beta=-3-\sqrt{6}$ . Así, $x^2+6x+3=(x-\alpha)(x-\beta)$ .

Express $\frac{6}{(x-\alpha)(x-\beta)}$ como $\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B}{(x-\beta)}$ (fracciones parciales).

Answer 2

$$\frac{2x}{x^2+6x+3}=\frac{A}{x-(-3-\sqrt{6})}+\frac{B}{x-(\sqrt{6}-3)}$$

Encuentre $A$ y $B$ y luego:

$$\int \frac{2x}{x^2+6x+3} dx=\int \frac{A}{x-(-3-\sqrt{6})} dx+\int \frac{B}{x-(\sqrt{6}-3)} dx$$

Answer 3

Otra idea (sólo reduciéndola a otra forma):

Dejemos que $$I=6\int \frac{1}{x^2+6x+3} dx=6\int \frac{1}{(x+3)^2-6} dx=\int \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{6}}(x+3))^2-1} dx$$ .

Ahora dejemos que $$\frac{1}{\sqrt{6}}(x+3)=\cosh a$$ Por lo tanto, el uso de $$\cosh^2 a - 1 = \sinh ^2 a$$ y $$\frac{1}{\sqrt{6}} = \sinh a \frac{da}{dx}\Leftrightarrow dx = da \sinh a \sqrt{6}$$ obtenemos $$I=\int \frac{1}{\sinh ^2 a} da \sinh a\sqrt{6} = \sqrt{6} \int \frac{1}{\sinh a} da$$ .

EDIT: ¿Puede alguien enseñarme a escribir en LaTeX más grande? EDIT2: ¡Que bien!

Answer 4

SUGERENCIA:

Como $\displaystyle x^2+6x+3=(x+3)^2-(\sqrt6)^2,$

utilizando Sustitución trigonométrica , set $x+3=\sqrt6\sec\theta$

o utilizar $\#1$ de este