Resolución de una repetición a un problema

Question

Me dio un problema con un amigo en el que tuve que colocar los bloques en un patrón específico de tal forma que cada bloque de la zona 1, pero había longitud/anchura tal que se ajuste exactamente en el lado del bloque de hecho hasta entonces. Lo que yo tenía que averiguar es la altura a la proporción entre la anchura después de un largo tiempo. Im omitiendo los detalles del problema, porque es irrelevante.

He traducido el problema en matemáticas, y He aterrizado con la siguiente relación de recurrencia.

Si $h_k, w_k$ son la altura y la anchura de la $k$-ésimo bloque I, la siguiente recurrencia surge:

\begin{align} w_{2k} &= w_{2k-1} + w_{2k-2}\\ h_{2k} &= \frac1{w_{2k}} \\ \text{and}\\ h_{2k+1} &= h_{2k} + h_{2k-1} \\ w_{2k+1} &= \frac1{h_{2k+1}}\\ \end{align}

con $h_0, h_1, w_0, w_1 = 1$

Y quiero explorar la convergencia y, por tanto, el límite de $h_k/w_k$.

He conseguido quitar la $w_k$ a partir de las ecuaciones y llegó a

$$h_{2k+1} = h_{2k} + h_{2k-1}$$ y $$h_{2k} = \frac1{\frac1{h_{2k-1}} + \frac1{h_{2k-2}}}$$

donde tengo que encontrar a $$\lim_{k\to\infty} h_{2k}^2$$

Cualquier ayuda o sugerencia se agradece. Enlaces o referencias a la forma en la recurrencia se resuelven también es bienvenido.

Answer 1

Podemos desplegar el plazo anterior de la misma paridad en su recurrencia, y llegar a:

$$h_{2k+1} = h_{2k} + h_{2k-1} = h_{2k} + h_{2k-2} + h_{2k-3} = h_{2k} + h_{2k-2} +\dots+ h_2$$ $$h_{2k} = \frac1{\frac1{h_{2k-1}} + \frac1{h_{2k-3}}+\dots+{1\over h_1}}$$

Evidentemente, no trivial límite es imposible: términos raros divergen hasta el infinito, incluso en términos converge a cero.

Debería ser de otra manera (por ejemplo, $h_{2k}\underset{k\to\infty}\longrightarrow c>0$), se seguiría que para $k$ lo suficientemente grande, $h_{2k+1}\approx c\cdot k$, por lo tanto $h_{2k}\approx{c\over{1\over2k}+{1\over2k-2}+\dots}\approx{2c\over\ln k}$, lo que tiende a $0$, lo cual sería una contradicción. (Sí, todos los que la mano saludando con "$\approx$" puede ser rigurosa, y fácilmente).

Ni siquiera tiene que molestarse en busca de la explícita forma de $h_k$, a pesar de que también es factible.

Mucho más interesante problema sería encontrar $\lim\limits_{k\to\infty} \left(\color{red}k\cdot h_{2k}^2\right)$ (en relación con el Wallis infinito producto), pero esa es otra historia.

Answer 2

No estoy seguro de si hay un método general de resolución de problemas, pero usted siempre debe tratar de encontrar un no-recurrente fórmula de las ecuaciones. Después de escribir un par de términos de la altura de la secuencia, se puede notar que el$h_{2k}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}$$h_{2k+1}=\frac{(2k+1)!!}{(2k)!!}$, donde n!! es el doble factorial de n. Este hecho es cierto y puede ser fácilmente demostrado el uso de la inducción.

Ahora quiere encontrar $\lim_{n\to\infty}h^2_{2n}$. Podemos reescribir $h_{2n}=\frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}$ y, a continuación, utilizar la aproximación de Stirling $n! \sim n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}$: $$\frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \sim \frac{(2n)^{2n} \cdot e^{-2n} \cdot \sqrt{4 \pi n}}{(2^n \cdot n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n})^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$$

Por lo tanto vemos que $\lim_{n\to\infty}h^2_{2n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi n} = 0$.