Mostrar una estructura es mínimo

Question

El conjunto subyacente de la estructura es $\mathbb{N}$ , nuestro idioma sólo tiene (<) interpretado como orden habitual. ¿Por qué es mínimo? (Todo subconjunto definible finito o cofinito)

Intento demostrar con la contradicción que tenemos un conjunto que no es de esta forma (así que el conjunto definible que es infinito pero no cofinito) pero no puedo ver cómo describir esto con sólo esta relación de orden <. Primero intento ver sin cuantificadores, lo que no es difícil, pero cuando vienen los cuantificadores empiezo a tener problemas. Por favor, aconsejadme.

Answer 1

En primer lugar, hay que señalar que $\omega \equiv \omega +\zeta$ donde $\zeta$ es el tipo de orden de los enteros $\mathbb{Z}$ . El lenguaje es siempre $<$ Lo omito en la noción. A continuación, como el grupo de automorfismo de $\omega+\zeta$ es transitivo en $\zeta$ cualquier subconjunto definible de $\omega+\zeta$ debe contener o ser disjunta de $\zeta$ .

Supongamos ahora que $\varphi(x)$ define un subconjunto infinito y coinfinito de $\omega$ entonces $$\omega \vDash \forall x\exists y (x<y\wedge \varphi(y))$$ $$\omega \vDash \forall x\exists y (x<y\wedge \neg\varphi(y))$$ y por lo tanto $\omega+\zeta$ deben satisfacer las mismas fórmulas. Esto contradice la observación anterior sobre el subconjunto de $\omega+\zeta$ definido por $\varphi$ .