En mi clase de teoría de grupos, mientras discutía la imposibilidad de las relaciones de equivalencia en los grupos, mi profesor dijo que el conjunto de todos los grupos no existe.
¿Existen subcategorías de grupos para las que el conjunto de todos los grupos de este tipo SÍ existe? Como ejemplos,
i) ¿Existe el conjunto de todos los grupos cíclicos?
ii) ¿Existe el conjunto de todos los grupos finitos?
iii) ¿Existe el conjunto de todos los grupos de orden n, para algún número entero n?
Gracias.
Sí y no. El conjunto subyacente de un grupo trivial puede ser cualquier conjunto de un elemento y la clase de todos los conjuntos de un elemento es una clase propia (es decir, no un conjunto). Sin embargo, si consideramos sólo los grupos hasta el isomorfismo, entonces el conjunto de los grupos cíclicos existe (hay uno para cada número natural y hay $\mathbb Z$ ). En el mismo sentido el conjunto de grupos de orden $n$ (o más fácilmente: El conjunto de operaciones sobre un conjunto dado de $n$ elementos tales que lo convierten en un grupo) existe, y también el conjunto de todos los grupos finitos.
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