Encontrar la solución a la ecuación diferencial

Question

$x\gt 0$ De asumir y que

$$x(x+1)\frac{du}{dx} = u^2,$$ $$u(1) = 4.$$

Comencé haciendo algunos álgebra para obtener:

$$\frac{1}{u^2}du = \frac{1}{x^2+x}dx.$$

Entonces tomé la fracción parcial del lado derecho de la ecuación:

$$\frac{1}{u^2}du = \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right).$$

Tomé entonces la integral de ambos lados:

$$-\frac{1}{u} = \log{x}-\log{(x+1)}+C.$$

Desde aquí no sé qué hacer porque estamos resolviendo para $u(x)$ y no estoy seguro de cómo llegar desde $-\frac{1}{u}$.

Answer 1

Resolución de $\frac{du}{dx}$ tenemos

\begin{equation} \frac{du}{dx}=\frac{u^2}{x(x+1)}\ \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{u^2}{x^2+x}\ \frac{\frac{du}{dx}}{u^2}=\frac{1}{x^2+x}. \end{ecuación }

Integrar ambos lados y evaluar las integrales:

\begin{equation} -\frac{1}{u}=\log(x)-\log(x+1)+C_1\ \Rightarrow u=-\frac{1}{\log(x)-\log(x+1)+C_1}. \end{ecuación }

Ahora aplicar la condición inicial:

\begin{equation} -\frac{1}{C_1-\log(2)}=4\Rightarrow C_1=\frac{1}{4}(-1+4\log(2)). \end{ecuación }

Esto da el resultado.

Answer 2

Consejo: tengo %#% $ #%