Anillo de coordenadas del producto de la variedad proyectiva

Question

Sea $X\subseteq \mathbb{P}^r,Y \subseteq \mathbb{P}^s$ son dos variedades proyectivas,¿cuál es el anillo de coordenadas de $X\times Y$ (¿Es cierto que
$$S(X\times Y)=S(X)\otimes_k S(Y)?$$

También quiero saber cuál es la dimensión de $ X\times Y$ ?

Edición:Como ha indicado Zhen Lin, la igualdad $S(X\times Y)=S(X)\otimes_k S(Y)$ no es cierto. Pero ¿cuál es la relación entre ellos, podemos expresar $S(X\times Y)$ en términos de $S(X),S(Y)$ ?

Answer 1

Resulta que el anillo de coordenadas para $X\times Y$ es

$$S(X\times Y) = \bigoplus_{i} S(X)_i\otimes S(Y)_i \subset S(X)\otimes S(Y)$$

donde $S(X)_i$ es el grado $i$ componente de $S(X)$ .

El ejercicio 13.14 del texto de Álgebra Conmutativa de Eisenbud repasa este hecho.