Un límite difícil: $\lim \limits_{x\rightarrow 0} \frac{9^x-5^x}{x}$ sin L'Hospital

Question

Estoy enseñando una recitación para una clase de cálculo 1 este trimestre y por algún error de comunicación tenía la impresión de que tenía que presentar un método para encontrar el límite de

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{9^x-5^x}{x}$$

sin utilizar la regla de L'Hospital. Rápidamente descubrí, para mi disgusto, que era incapaz de encontrar el límite sin aplicar la regla de L'Hospital. Pregunté a varios de mis amigos que tampoco pudieron resolverlo. Me preguntaba si existía una solución elemental para dicho límite, es decir, algo comprensible para un estudiante de cálculo 1 principiante.

Edit: Para ser más claros los alumnos de mi recitación acaban de aprender los límites y aún no han llegado a los derivados.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Reescríbalo como $\displaystyle\ \ 5^x \dfrac{(9/5)^x-1}{x}\ =\ 5^x \dfrac{{\it e}^{\:cx}-1}{x}\ $ para $\,\ c = \log(9/5).$

El límite de esta última fracción es bien conocido - con varias pruebas, por ejemplo, por series de potencias, o reconociéndolo como una primera derivada. Véase mi publicaciones anteriores para ver muchos más ejemplos de esto último.

Answer 2

También puede considerar

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{9^x-5^x}{x}$$

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{9^x-1}{x} -\frac{5^x-1}{x}$$

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{9^x-9^0}{x-0} -\frac{5^x-5^0}{x-0}=\log \frac{9}{5}$$

Answer 3

Utilice $a^x = \exp(x\ln a)$ para conseguir

$$ \begin{align} \frac{9^x - 5^x}{x} & = \frac{\exp(x\ln 9) - \exp(x\ln 5)}{x} \end{align} $$

y luego recordar que la serie de potencia de $\exp (x)$ .

Answer 4

Podría reconocer esto como $\frac{d}{dx}\left(9^x-5^x\right)\big|_{x=0}$ . Es decir: $$ \begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{9^x-5^x}{x} &= \lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x\log{9}}-e^{0\cdot\log{9}}}{x}-\frac{e^{x\log{5}}-e^{0\cdot\log{5}}}{x}\right)\\ &= \frac{d}{dx}e^{x\log{9}}\big|_{x=0}-\frac{d}{dx}e^{x\log{5}}\big|_{x=0}, \end{align*} $$ por definición de la derivada a cero.

Answer 5

Recuerda que $\lim_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}=1$ . Establecer $y=\log(9/5)\cdot x \;\;$ y observe que \begin{align} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{9^x-5^x}{x} = & \lim_{x\rightarrow 0}\;\; (5^x) \cdot \frac{(9/5)^x-1}{x} \\ = & \lim_{x\rightarrow 0}\;\; (5^x) \cdot \frac{e^{x\log(9/5)}-1}{x} \\ = & \lim_{x\rightarrow 0}\;\; (\log(9/5)\cdot 5^x) \cdot \frac{e^{x\log(9/5)}-1}{x\cdot \log(9/5)} \\ = & \lim_{x\rightarrow 0}\;\; (\log(9/5)\cdot 5^x) \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x\log(9/5)}-1}{x\cdot \log(9/5)} \\ = & \log(9/5)\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\;\; (5^x) \lim_{y\rightarrow 0} \frac{e^{y}-1}{y} \\ = & \log(9/5)\cdot 5^{0}\cdot \lim_{y\rightarrow 0} \frac{e^{y}-1}{y} \\ = & \log(9/5) \\ \end{align}