En general la identidad : $$(\Delta \otimes id)R'=R'_{13}R'_{23}\qquad (E)$$
no mantenga pulsado el botón (Ver Contraejemplo a continuación). Pero es cierto que $R'$ satisfacer las condiciones de "cuasi-triangularidad" con respecto a $\Delta^{op}$ y por lo tanto, tenemos :
$$(\Delta^{op} \otimes id)R'=R'_{13}R'_{23}\qquad (E)$$
$\textbf{Counterexample:}$
Le $H$ ser el Sweedler del álgebra como en http://en.wikipedia.org/wiki/Sweedler%27s_Hopf_algebra.
Sweedler del álgebra de hopf es cuasi triangular con respecto a:
$$R=\frac 1 2 (1\otimes 1 +1\otimes g + g\otimes 1-g\otimes g) +\frac \lambda 2 (x\otimes x+x\otimes gx+gx\otimes gx -gx\otimes x), $$
esto se da en Kassel cuántica grupos.
Tomemos $\lambda=1$ ($\lambda\neq 0$ las obras).
Tenemos $R'=R+R''$$R''=gx\otimes x-x\otimes gx$.
Suponiendo que $R'$ satisface $(E)$ obtenemos :
$$ (\Delta \otimes id)R''= R_{13} R''_{23}+R''_{13}R'_{23}\qquad (*).$$
Denotar $V_a=a\otimes H\otimes H$$W=V_x\oplus V_g \oplus V_{xg}$.
Directo cálculo muestra que :
$$(\Delta \otimes id)R''\in -(1\otimes x\otimes gx)+W.$$
Por otro lado, desde la $R''_{13} \in W$$ R'_{23} \in V_1 $, el uso de ese $W\cdot V_1 \subset W$ da $R''_{13}R'_{23} \in W$. Así que si (*) sostiene que debemos tener :
$$ R_{13} R''_{23} \in -(1\otimes x\otimes gx)+W \qquad(**).$$
Permítanos calcular. Vemos que $R_{13} \in 1\otimes 1\otimes \frac{1+g}{2} +W $$R''_{23}\in V_1$. Por lo tanto :
$$ R_{13} R''_{23}\in (1\otimes 1\otimes \frac{1+g}{2})R''_{23} +W.$$
Finalmente, comprobamos que :
$$ (1\otimes 1\otimes \frac{1+g}{2})R''_{23} \notin -(1\otimes x\otimes gx)+W .$$
Que conduce a una contradicción.
