Dados 3 primos distintos { $p,q,r$ }, entonces $|G|=pqr \implies G$ no simple

Question

Esta es una pregunta que me han hecho;

Dados distintos primos $p,q,r$ Demuestre que cualquier grupo $G$ de orden $pqr$ no es sencillo.

Hasta ahora, mi idea ha sido comprobar individualmente cada posible subgrupo propio, ya que por Lagrange sólo hay $$\dbinom{3}{2} + \dbinom{3}{1} + 1$$ de ellos, y demostrar que al menos uno de ellos que no sea el grupo trivial es normal. Seguramente hay una manera más inteligente, ya que generalizar este enfoque no funcionaría tan bien si quisiera mostrar resultados similares para grupos cuyo orden es un producto de $n$ primos distintos.

¿Existe algún otro enfoque? Gracias por sus comentarios

Answer 1

Sea $G$ sea un grupo de orden $pqr$ donde $p, q$ y $r$ son primos y $p < q < r$ .

Se puede demostrar que existe un subgrupo Sylow normal de la siguiente manera. Sea $n_p, n_q$ y $n_r$ sea el número de $p$ -Sylow, $q$ -Sylow y $r$ -Sylow, respectivamente. Suponiendo que $n_p, n_q, n_r > 1$ implica por el teorema de Sylow que $n_p \geq q$ , $n_q \geq r$ y $n_r \geq pq$ . El recuento de elementos en subgrupos Sylow le da entonces más de $pqr$ elementos distintos, lo cual es una contradicción. Por tanto, existe un único subgrupo Sylow para algún primo que divide a $|G|$ que tiene que ser normal.

En realidad es más cierto: utilizando el hecho de que existe un subgrupo Sylow normal, se puede demostrar que la $r$ -El subgrupo Sylow tiene que ser normal. Este resultado se generaliza a los grupos de orden libre de cuadrados. En un grupo de orden libre de cuadrados el subgrupo de Sylow correspondiente al mayor divisor primo de $|G|$ es normal. Este hecho se puede demostrar con el Teorema de Transferencia de Burnside. Una demostración más elemental, pero no tan "conocida" hoy en día, se puede dar utilizando el teorema de Frobenius, que establece que el número de soluciones de $x^n = 1$ en $G$ es múltiplo de $(n, |G|)$ .

Answer 2

¿No puedes salirte con la tuya? Di $|G|=pqr$ donde $p$ , $q$ y $r$ son primos distintos, entonces sin pérdida de generalidad $p<q<r$ . Luego por Sylow, $n_r\equiv 1\pmod{r}$ . Supongamos que $G$ no es sencillo. Entonces $n_r\in\{1+r,1+2r,\ldots,\}$ . ( $n_r\neq 1$ ) Como mínimo, $n_r>r$ . También por Sylow, $n_r\mid pq\Rightarrow (n_r\mid p\lor n_r\mid q)$ lo cual es imposible ya que $n_r>r>p>q$ .