Encontrar el valor
$$\sqrt[3]{11+4\sqrt[3]{14+10\sqrt[3]{17+18\sqrt[3]{20+28\sqrt[3]{23+\cdots}}}}}\cdots (1)$$
Es bien conocido este valor $$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3$$
Pero para $(1)$ No puedo encontrarlo. Gracias.
Respuestas
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Tenemos que mirar las secuencias definidas recursivamente por $x_{n+1} = f_n(x_n)$ donde $f_n(x) = \frac{x^3-3n-8}{n(n+3)}$ y $x_1 \in \Bbb R$ .
Al igual que MvG, podemos comprobar que una de estas secuencias viene dada por $u_n = n+2$ y tenemos que demostrar lo especial que es esta secuencia:
Si $x_1 > u_1$ entonces $x_n > u_n$ (porque el $f_n$ son crecientes). Dado que $f_n'$ también está aumentando y $f'_n(u_n) = 3u_n^2/n(n+3) \to 3$ existe un $n_0$ tal que $|x_{n+1}-u_{n+1}| > 2|x_n-u_n|$ para $n \ge n_0$ . Por lo tanto, $(x_n)$ explota al menos exponencialmente.
Si $x_1 < u_1$ entonces $x_n < u_n$ y eventualmente, $x_n < n$ porque alrededor de $u_n$ y para $n$ suficientemente grande, la diferencia crece exponencialmente (hay una pequeña región alrededor de $n$ y $u_n$ donde $f'n(x_n)$ se mantiene arbitrariamente cerca de $3$ siempre y cuando $n$ es lo suficientemente grande).
Ahora bien, como para los positivos $x_n$ , $x_{n+1}/(n+1) < (x_n/n)^3$ y como rápidamente terminas cerca de $0$ cuando se cubica iterativamente, la secuencia $x_n/n$ es decreciente y debe acercarse arbitrariamente a $0$ . Lo hace muy rápido ( $x_n \le a^{3^n}n$ para algunos $a<1$ ), y finalmente, $x_n$ se pondrá por debajo de $\sqrt[3]{3n+8}$ y la secuencia se volverá negativa.
Esto demuestra que la secuencia truncada $\sqrt[3]{11}, \sqrt[3]{11+4 \sqrt[3]{14}}, \ldots$ convergen a $3$ Si escribes sólo $n$ raíces, usted está mirando el $x_1^{(n)}$ haciendo $x_{n+1}=0$ . Desde $u_n > 0$ tenemos $x_1^{(n)} < u_1$ . Esa secuencia $x_1^{(n)}$ es creciente y tiene algún límite $l \le u_1$ . Dado que la secuencia obtenida a partir de $l$ es positivo, debemos tener $l=u_1$ .
Parece que para $0 \le u_1 < 3$ la secuencia converge a $0$ mientras que para los grandes negativos $u_1$ la secuencia diverge obviamente a $ - \infty$ muy rápidamente. Así que en algún lugar debe haber otro valor crítico (negativo) para $x_1$ cuya secuencia generada se sitúa entre las que convergen a $0$ y los que están explotando.
gagneet
Puntos
4565
Los experimentos numéricos indican que el valor debe ser $3$ también. Así que vamos a tratar de demostrarlo.
\begin{align*} \sqrt[3]{11 + 4\sqrt[3]{14 + 10\sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}}}} &= 3 \\ 11 + 4\sqrt[3]{14 + 10\sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}}} &= 3^3 = 27 \\ 4\sqrt[3]{14 + 10\sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}}} = 3^3 &= 27-11 = 16 \\ \sqrt[3]{14 + 10\sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}}} &= \frac{16}{4} = 4 \\ 14 + 10\sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}} &= 4^3 = 64 \\ 10\sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}} &= 64 - 14 = 50 \\ \sqrt[3]{17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}}} &= \frac{50}{10} = 5 \\ 17 + 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}} &= 5^3 = 125 \\ 18\sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}} &= 125 - 17 = 108 \\ \sqrt[3]{20 + 28\sqrt[3]{23 + \dots}} &= \frac{108}{18} = 6 \end{align*}
Creo que puedes ver un patrón emergente: las raíces cúbicas anidadas forman una secuencia aritmética de números naturales. Puedes usar esto para obtener una prueba más formal, más allá de esta simple "prueba por ejemplo". Pero si todo lo que necesitas es el valor, no te molestes.
Tenga en cuenta que la secuencia de ecuaciones anterior sería técnicamente posible para cualquier valor que asuma en la primera línea. El punto clave aquí es el hecho de que los valores de las raíces cúbicas sólo crecen lentamente. Esto significa que las raíces anidadas más profundamente en toda la expresión tienen poco impacto en el valor más externo.
