¿Cuál es el límite de $\log_k(k^a + k^b)$ para $k \to +\infty$ ?

Question

No soy muy bueno con el análisis (nunca lo estudié) pero por mi "trabajo" en otros temas de matemáticas llegué a este problema.

$$\lim_{k \to +\infty }\log_k(k^a + k^b)=\max(a,b)$$

Estoy seguro de que esto es realmente "razonable" porque he intentado graficarlo para valores realmente enormes de $k$ ... pero "razonable" no es suficiente en matemáticas: Me gustaría probar esto. Así que me gustaría saber cómo se debería demostrar de manera formal... si es que es cierto (espero).

PD: No sé nada sobre los límites y sus reglas

Answer 1

Utiliza la ecuación funcional:

$\log(k^a+k^b)=a+\log(1+k^{b-a})$

Cuando $a> b$ el término log va a 0, si $b\ge a$ va a $b-a$ y $b-a+a=b$ .

Answer 2

Supongamos que $a\geqslant b$ entonces $k^a\leqslant k^a+k^b\leqslant 2k^a$ por lo que $a\leqslant\log _k(k^a+k^b)\leqslant a+\log_k2$ y $\log_k2=\frac{\log2}{\log k}$ . ¿Puedes terminar?

Answer 3

Si $a\gt b$ entonces $$\log_k(k^a+k^b)=\log_k k^a+\log_k (1+k^{b-a})$$

(Tenga en cuenta que si $a=b$ se obtiene $a+\log_k(2)$ )

Entonces el primer término es constante y el límite del segundo es fácil de establecer.

Answer 4

Yo probaría lo siguiente. Fíjate en eso: $$\lim_{k \to + \infty} \log_k(k^a + k^b) = \lim_{k \to + \infty} \frac{\ln(k^a + k^b)}{\ln k}$$ Si $0 < a,b < 1$ el límite es $0$ . Supongamos que $a,b > 1$ y utilizar la regla de L'Hospital. Obtenemos: $$\lim_{k \to +\infty} \frac{\frac{k^a \ln k + k^b \ln k}{k^a + k^b}}{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to +\infty} \ln k \frac{k^{a +1} + k^{b + 1}}{k^a + k^b} = \lim_{k \to + \infty} \ln k \frac{k^{a + 1 -b} + k}{k^{a - b} + 1} \\ = \lim_{k \to +\infty} k \ln k \frac{k^{a - b} + 1}{k^{a - b} + 1} = \lim_{k \to +\infty} k \ln k = + \infty$$

Answer 5

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a\ge b$ entonces:

$$\log_{k}(k^{a}+k^{b})=a+\log_{k}(1+k^{b-a})=a+\frac{\ln(1+k^{b-a})}{\ln(k)}$$

donde he cambiado la base del logaritmo para conseguir la segunda igualdad. Observa que si $a>b$ entonces $1+k^{b-a}\to1$ y $\ln(k)\to\infty$ tanto como $k$ tiende a $\infty$ . Si $a=b$ entonces $1+k^{b-a}=2$ pero $\ln(k)\to\infty$ como $k\to\infty$ . Así, lo anterior tiende a $a=\max\{a,b\}$ .