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¿Desviación a la izquierda puede aproximar por polinomios de cambio derecha?

Considerar la izquierda del operador de desplazamiento a la $L$ y la de la derecha mayús $R$$l^2(\mathbb Z)$. Entonces ambos son unitaria de los operadores y la inversa de cada una de las otras.

Mi pregunta es: ¿hay $x\ne 0$ tal que $Lx$ es en el cierre de la extensión de $(R^nx)$? I. e., hay números de $(a_n)$ tal que $$ Lx = \sum_{n=0}^\infty a_n R^n x \quad ? $$ Es fácil ver que la afirmación es falsa si $x$ es de un solo lado de la secuencia, es decir, no es $K$ tales que (a$x_k=0$ todos los $k<-K$) o ($x_k=0$ todos los $k>K$) se mantiene. Ahora estas secuencias son densos en $l^2(\mathbb Z)$.

Pero yo no era capaz de mostrar que no $x\ne0$ puede ser escrito como la anterior. Hay una buena prueba de esta afirmación? O es que hay un ejemplo de $x$, la cual trabaja?

Esta pregunta fue inspirado por esta cuestión y el ejemplo que se da allí.

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Todo puede ser visto en términos de $L^2[-\pi,\pi]$ donde$Lf=e^{-i\theta}f$$Rf=e^{i\theta}f$. Entonces usted quiere saber si hay $x\in L^2$ tal que $$ e^{-i\theta}x(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n e^{\theta}x(\theta) \\ x(\theta)\left(1-\sum_{n=0}^{\infty}a_n e^{i(n+1)\theta}\right)=0. $$ Para restringir la discusión, supongamos $\sum_{n}|a_n|^2 < \infty$. Tenga en cuenta que $1-\sum_n a_n e^{i(n+1)\theta}$ es el límite de la función de un holomorphic función en la unidad de disco. Este límite de la función no puede desaparecer en un conjunto de medida positiva debido a que la fuerza de todo el poder de la serie de coeficientes de desaparecer, incluyendo el término constante $1$; en ese caso, $1-\sum_n a_ne^{i(n+1)\theta}$ sería distinto de cero en casi todas partes, y que obligaría a $x=0$.e.. El mismo tipo de argumento funciona si $\sum_{n}|a_n|^p < \infty$ algunos $1 \le p < \infty$. Así que me parece muy raro que existiera una secuencia de coeficientes de $\{ a_n \}$.

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