Demuestre que el ideal es un subring

Question

Estoy experimentando con los ideales de los anillos (¿quizás ideales es siempre para los anillos, por lo que al hablar de ideales siempre nos referimos a estos subconjuntos de anillos?), y mi libro me da la definición de que un ideal $I$ es un subconjunto de un anillo $R$ para los cuales los elementos son cerrados bajo la adición y $ra\in I$ para todos $r\in R$ y $a\in I$ .

La Wikipedia dice que un ideal es un subgrupo aditivo que veo claramente, pero sospecho que $I$ también es un subring a $R$ . No encuentro información al respecto en mi libro, pero he intentado aplicar el teorema del "criterio del subring" (dejemos $S$ sea un subconjunto de un anillo $R$ ): (i) cierres aditivos y multiplicativos, (ii) si $a\in S \implies -a \in S$ y (iii) $S$ contiene la identidad.

Esto es lo que hice:

(i) la suma se desprende de la definición, pero para la multiplicación dejemos $a,b \in I$ entonces para cualquier $r_1,r_2 \in R$ obtenemos $r_1ar_2b = (r_1ar_2)b \in I$ porque $r_1ar_2 \in R$ . El mismo argumento para $a$ , por lo tanto, cierre para la multiplicación.

(ii) Esto se deduce de la definición de anillo.

(iii) $I$ es un subgrupo aditivo, por lo que $0\in I$ .

Entonces, ¿se mantiene mi "prueba"? ¿Es realmente cierto que un ideal es siempre un subring ? Si no es cierto, ¿puede alguien ilustrar algún contraejemplo?

Saludos cordiales,

Answer 1

Si su libro define (como lo hacen la mayoría de los libros, creo) los anillos como anillos unitarios, es decir, exige que contengan un elemento neutro para la multiplicación, entonces los ideales son casi nunca subrings. De hecho, para los anillos unitarios se requieren subrings de $~R$ para contener el elemento $1\in R$ (en lugar de algún elemento neutro para la mulitplicación restringido al subring ), y un ideal que contiene $1$ debe contener sus múltiplos por elementos de $R$ , lo que da toda la $R$ el único ideal de $R$ que es un subring es $R$ sí mismo.

Si por el contrario su libro no dice nada de elementos neutros para la multiplicación, entonces se trata de una categoría mayor de estructuras que suelen llamarse "rngs", para indicar la (posible) falta de $1$ . Entonces, efectivamente, todos los ideales son subrngs.

Por último, observo que a veces un ideal no trivial puede considerarse un anillo en sí mismo eligiendo un elemento diferente para que sea $1$ (este fue el motivo de mi comentario entre paréntesis más arriba). Por ejemplo, en $\def\Z{\mathbf Z}\Z/10\Z$ se puede convertir el ideal de clases "pares" en un anillo (utilizando la misma suma y multiplicación) eligiendo la clase de $6$ para ser el elemento neutro de la multiplicación. Esta situación se da típicamente en anillos que pueden descomponerse como producto de anillos; en el ejemplo actual $\Z/10\Z\equiv (\Z/5\Z)\times(\Z/2\Z)$ por el teorema chino del resto. Los factores de tal descomposición son naturalmente cocientes del anillo original, pero también corresponden a un ideal de ese anillo (a saber, el núcleo de la proyección al otro(s) factor(es)); tal ideal no es un subring, pero puede convertirse en un anillo eligiendo la proyección de $1$ en el ideal como nuevo elemento neutro.