¿Lo sorprendente es este resultado en el ecuación diofántica del $x(x+1)...(x+n-1) = y^n+k$?

Question

Hace un número de años, he demostrado el siguiente resultado:

Para cualquier entero $k$, el número de positivos soluciones integrales a $x(x+1)...(x+n-1) = y^n+k$ con $n \ge 3$ es finito (es decir, sólo hay un número finito de $(x, y, n)$ satisfacer esta ecuación para cualquier $k$).

Es muy claro que para cualquier fija $k$ $n$ hay sólo un número finito de $x$ $y$ (usted puede probar que $y \le |k|$), pero el hecho de que sólo hay un número finito de $n$ llegó como una sorpresa para mí. Al principio me demostró que $n < e|k|$ y que luego derivó mucho más estrictos límites.

La manera en que yo sea su enunciado es "El producto es $n$ enteros consecutivos es casi nunca cerca de una de las $n$-ésima potencia."

Mi pregunta es si este resultado es sorprendente?

Gracias.

Answer 1

El resultado no es sorprendente en el sentido de que la norma probabilístico heurística sugieren que es la verdad. En el intervalo de $[2^d, 2^{d+1})$ hay $2^d$ números. De esos números, $O(d \cdot 2^{d/3})$ son perfectos tercer poderes o superior, por lo que la probabilidad de que un número en este intervalo es una perfecta tercera potencia o mayor es $O(d \cdot 2^{-2d/3})$. La probabilidad de que un número en este intervalo de tiempo es de la forma $x(x+1)...(x+n-1) - k$ algunos $n \ge 3$ debe ser aproximadamente de la misma, y si suponemos que los dos eventos son independientes, entonces la probabilidad de que existe una solución a su ecuación de Diophantine con $y^n \in [2^d, 2^{d+1})$$O(d^2 \cdot 2^{-4d/3})$.

La suma de estas probabilidades sobre todas las $d$ converge. Una heurística de la aplicación de Borel-Cantelli , a continuación, sugiere que el número de soluciones es finito.

Por supuesto, este argumento también se aplica, incorrectamente, a $n = 2$. Aquí hay una estructura algebraica que viola la independencia de la asunción. Pero esta estructura no generalizar a mayor $n$, y supongo que esto se hizo preciso por Faltings teorema fija $n$.

Hablando de lo cual, Scott Carnahan, la respuesta a esta MO pregunta acerca de la conjetura de Mordell puede ser más convincente para usted, como correctamente se excluye el caso de $n = 2$. (Tomar la suma de todos los $d \ge 3$, en la notación de su respuesta.)

Answer 2

Por cierto, aquí está cómo convertí el encuadernado en $y$ % encuadernado en $n$:

Desde $2(n/e)^n

$$2(n/e)^n

Usando el % consolidado en corregido $y$$y \le |k|$,

$$2(n/e)^n

así $n/e

Lo hice hace más de 40 años, pero recuerdo pensar que esto era magia, tirar de alguna manera el resultado de la nada.

Answer 3

Es un resultado de Erdos y Selfridge que el producto de números enteros consecutivos no es una potencia (con excepciones triviales). Tal vez algo en su papel es de uso aquí.