Subcampos complejos de índice finito

Question

Se sabe que el campo$\mathbb{R}$ de números reales es un subcampo complejo del índice 2, es decir,$[\mathbb{C},\mathbb{R}]=2$. Dado un entero$n>2$ fijo, ¿existe un subcampo de$\mathbb{C}$ del índice$n$?

Answer 1

No hay tal subcampo. Es un teorema de Artin-Schreier que si$K$ está cerrado algebraicamente y$L$ es un subcampo apropiado de$K$, de modo que$[K:L]<\infty$, luego$K$ se obtiene from$L$ agregando una raíz cuadrada de$-1$, entonces$[K:L]=2$. Vea esta respuesta MO .