Grupo de matriz unitriangular$\text{UT}(3, 3)$

Question

Considere el grupo de matrices de la forma$$\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$for $ a$, $ b$, $ c \ in \ mathbb {F} _3 $.

¿Cómo veo que$x^3 = 1$ para todo$x$ en este grupo de matriz, y que este grupo de matriz es generado por las matrices$e_{12}(1)$ y$e_{23}(1)$?

Answer 1

Con respecto a $x^3 = 1$: Si $x \in \operatorname{UT}(3,3)$, entonces el polinomio característico de a $x$ está dado por $P(T) = (T-1)^3 = T^3 - 1$ (donde usamos ese $\operatorname{char}(\mathbb{F}_3) = 3$), y se sigue de Cayley-Hamilton que $0 = P(x) = x^3 - 1$.

A ver que $$ x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad y = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & 1 \\ & & 1 \end{pmatrix} $$ generar $\operatorname{UT}(3,3)$ utilizamos las siguientes reglas, donde $n, m \in \mathbb{Z}$: \begin{gather*} x^n = \begin{pmatrix} 1 & \overline{n} & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}, \quad y^m = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \overline{m} \\ & & 1 \end{pmatrix}, \quad x^n y^m = \begin{pmatrix} 1 & \overline{n} & \overline{nm} \\ & 1 & \overline{m} \\ & & 1 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ & 1 & c \\ & & 1 \end{pmatrix} x^n = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ & 1 & c \\ & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \overline{n} & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a + \overline{n} & b \\ & 1 & c \\ & & 1 \end{pmatrix} \\ y^m \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ & 1 & c \\ & & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \overline{m} \\ & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ & 1 & c \\ & & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ & 1 & c + \overline{m} \\ & & 1 \end{pmatrix}. \end{se reúnen*}

Con la primera línea de ajustar la entrada de $c$, y con la segunda y la tercera línea a continuación, podemos ajustar las entradas $a$$b$. Con esto conseguimos para $a, b, c \in \mathbb{Z}$ que $$ \begin{pmatrix} 1 & \overline{a} & \overline{b} \\ & 1 & \overline{c} \\ & & 1 \end{pmatrix} = y^{c-1} x^b y^1 x^{a-b}. $$

Answer 2

El grupo tiene orden de 27 (combinatoria). Para demostrar que las matrices de $A$ $B$ generar todo el grupo, muestran que la primera de $ A \notin \lbrace I,B,B^2 \rbrace$, por lo que el $\langle A, B \rangle$ ha pedido en menos $9$. Ahora uso (o demostrar, mediante el uso de la clase ecuación para las clases conjugacy, y llegar a una contradicción a partir de la suposición de que el centro es trivial y, a continuación, resultando que el centro no puede tener el índice p) el hecho de que para los números primos $p$ cada grupo de orden $p^2$ es Abelian y encontrar dos matrices en $\langle A, B \rangle$ que no viajan a mostrar que, de hecho, $\langle A, B \rangle = G$