Dejemos que $X$ un infinito $T_1$ espacio, entonces existe algún subespacio homeomorfo a $(\Bbb N,\tau)$ donde $\tau$ es discreto o cofinito

Question

Mi intento de demostrar la afirmación del título: si $X$ es infinito y $T_1$ con topología $\tau_1$ entonces cualquier base para $X$ también es infinito.

Si $X$ es $T_1$ entonces para cualquier $x, y\in X$ con $x\ne y$ existen algunos conjuntos abiertos $U$ y $V$ tal que $x\in U \land y\notin U$ y $x\notin V \land y\in V$ .

$\color{red}{(1)}$ Si se extiende este análisis para un subconjunto finito $F\subset X$ puede crear una colección $\mathcal{U}$ de conjuntos abiertos donde $\forall x_i,x_j\in F,\ i\ne j,\ \exists U_i\in\mathcal{U}:\ (x_i\in U_i)\land (x_j\notin U_i)$ . Entonces $F\bigcap(\bigcap_{i=0}^{n} U_i)=\varnothing$ y $\mathcal {U}=\{U_i\}$ pero $\bigcap_{i=0}^{n} U_i\in\tau_1$ debido a la definición de topología (y recuerde $F$ es finito).

Entonces:

1. Si existe alguna colección infinita contable de conjuntos abiertos disjuntos para la base de $X$ entonces si tomamos algún punto perteneciente a cualquiera de estos conjuntos abiertos básicos disjuntos entonces el subespacio resultante es obviamente homeomorfo a $\Bbb N$ con la topología discreta.

2. Si no existe una colección infinita de conjuntos abiertos básicos disjuntos tenemos que existe una colección infinita de conjuntos abiertos no disjuntos. Si tomamos infinitos puntos contables cada uno de los cuales pertenece a un conjunto abierto diferente pero no disjunto y hacemos que el espacio sea $T_1$ tenemos que para todo conjunto abierto a lo sumo un número finito de puntos ( $F$ en la expresión $\color{red}{(1)}$ ) no les pertenece porque la declaración sobre $\color{red}{(1)}$ por lo que el subespacio es homeomorfo a $\Bbb N$ -cofinito.

Pregunta:

1. Me parece que mi prueba es correcta pero no lo suficientemente clara, ¿quizás puedas indicar cómo aclararla o si le falta algo?

2. La expresión en $\color{red}{(1)}$ ¿es suficientemente comprensible?

Gracias de antemano.

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EDICIÓN: la expresión $\color{red}{(1)}$ es muy difícil escribirlo correctamente a estas alturas, así que voy a describirlo con palabras: puedes extender la definición de $T_1$ -espacio no sólo a algunos $x,y\in X$ si no a $x_1,x_2,x_3,...,x_n\in X$ . Si haces todas las consideraciones entonces existen algunas $U_i$ por cada $x_i$ donde $x_i\in U_i$ pero los otros puntos no pertenecen a $U_i$ . Esta colección de $U_i$ Llamo $\mathcal{U}$ .

La intersección de cada $U_i$ pertenece a $\tau_1$ porque es una intersección finita de conjuntos abiertos, y nadie $x_i$ pertenece a esta intersección, obviamente, y estos $x_i$ son finitos. Esto es lo que quería expresar en $\color{red}{(1)}$ , perdón por las molestias :S

Answer 1

Personalmente, no entiendo la $2.$ en su enfoque. La expresión $\color{red}{(1)}$ es comprensible, pero la segunda parte de su prueba no la entiendo.

Un intento, que muy posiblemente sea erróneo, así que tómenlo con pinzas:

1er caso - existe un subconjunto infinito contable $A$ , tal que tiene topología cofinita, en ese caso hemos terminado.

2º caso - tal subconjunto no existe, por lo tanto en cada subconjunto infinito contable, existe un elemento y una vecindad abierta de ese elemento, tal que no es cofinito.

Si ahora tomamos cualquier subconjunto infinito contable $A$ podemos elegir un elemento que tenga un vecindario abierto no cofinito, y podemos llamarlo $a_1$ y $U_1$ . Considere el conjunto $A \setminus U_1$ - sigue siendo un subconjunto infinito y contable, por lo que podemos volver a elegir un elemento $a_2$ y un barrio abierto $U_2$ , de tal manera que $(A \setminus U_1) \setminus U_2$ es infinito. Al tomar $U_2' = U_2 \cap (X \setminus \{a_1\} )$ ( $(X \setminus \{a_1\} )$ es un conjunto abierto en $T_1$ ) y $U_1' = U_1$ tenemos barrios abiertos de $a_1$ y $a_2$ que no contienen el otro elemento respectivo.

Repetimos este proceso, y definimos así una secuencia $\{a_i: i \in \mathbb{N} \}$ de puntos distintos en $X$ . Para cualquier elemento $a_i$ en esta secuencia, tenemos un barrio abierto $U_i'$ , de tal manera que $U_i'$ no contiene elementos anteriores en la secuencia (porque hay un número finito de ellos, podemos deshacernos de $U_i$ utilizando $T_1$ propiedad de $X$ ), y todos los demás elementos se definen como de $A\setminus U_i$ Por lo tanto, tampoco contiene ninguno de ellos. Así que la secuencia tiene una topología discreta con respecto a $X$ - por lo tanto, hemos encontrado un subconjunto infinito contable con topología discreta, y así hemos terminado.

Answer 2

Para responder a las preguntas que has formulado (siento llegar tan tarde, pero he tenido muy poco tiempo estos últimos días):

En primer lugar, su expresión $\color{red}{(1)}$ se puede afirmar como:

Dado un conjunto finito $F\subseteq X$ para cada $x \in F$ , hay un barrio abierto $U_x$ de $x$ tal que para todo $y \in F, y \ne x \implies y \notin U_x$ .

Puede definir $\mathcal U_F = \{U_x\ |\ x \in F\}$ . Puse el $F$ subíndice para recordar que $\mathcal U$ se define a partir de conocer $F$ primero.

En el punto 2, parece decir que en el caso de que $X$ no contiene una colección infinita de conjuntos vacíos disjuntos, podemos elegir una colección contablemente infinita de conjuntos abiertos $\mathcal A$ y para cada $A \in \mathcal A$ un punto $x_A \in A$ , de tal manera que si $A \ne B$ entonces $x_A \ne x_B$ . Sin embargo, al igual que Jake1234, no veo cómo $\color{red}{(1)}$ muestra que $\{x_A\ |\ A \in \mathcal A\}$ tiene una topología de subespacio cofinito.