Un grupo finitamente generado que contiene un subgrupo no finitamente generado.

Question

Pregunta: Diga un grupo finitamente generado que contenga un subgrupo no finitamente generado.

Lo que sé: Aprendí que el grupo libre con dos generadores $F_{2}$ (con generadores matriciales de 2 en 2) está finitamente generada. Pero no sé cuál es el subgrupo del mismo que no está finitamente generado. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar dicho subgrupo? Se lo agradecería.

Answer 1

El grupo libre en muchos generadores contables, $F_{\infty}$ es isomorfo a un subgrupo de $F_2$ . Escriba $F_2 = \langle x,y\rangle$ y tomar $F_{\infty}$ para ser el subgrupo generado libremente por $yxy^{-1}, y^2xy^{-2}, y^3xy^{-3} \ldots$ .

Hay una buena manera de ver esto desde la teoría de los espacios de cobertura. Tomemos $F_2$ para ser el grupo fundamental de la cuña de dos círculos etiquetados $x$ y $y$ . A continuación, considere el espacio de cobertura que consiste en puntos base indexados por $\mathbb{Z}$ con cada punto base $n$ que tiene dos aristas etiquetadas $x$ y $y$ yendo al grano $n+1$ .

Answer 2

He aquí una solución más elemental. Dejemos que $G$ sea el núcleo del mapa $F_2[x,y]\to \mathbb Z$ definido por $x\mapsto 0$ y $y\mapsto 1$ . Yo reclamo $G$ no está generada finitamente.

Dejemos que $w_1,w_2,\dots,w_n$ sea una lista de elementos de $G$ . Cualquier $w$ puede escribirse de forma única en la forma $y^{n_0}x^{m_0}y^{n_1}x^{m_1}\cdots y^{n_{\ell-1}}x^{m_{\ell-1}}y^{n_{\ell}}$ , donde $\ell,m_i,n_i$ son números enteros, $\ell\ge 0$ , $\sum_i n_i=0$ . Definir el espesor de esta palabra para ser $$ \operatorname{thick}(w)=\max(2|n_0|,|n_1|,|n_2|,\dots,|n_{\ell-1}|,2|n_\ell|). $$ Entonces puede demostrar que $\operatorname{thick}(ww')\le \max(\operatorname{thick}(w),\operatorname{thick}(w')$ ). Por lo tanto, el subgrupo generado por $w_1,\dots,w_n$ tendrá un espesor máximo, mientras que $G$ tiene palabras con un grosor arbitrario, como $y^nxy^{-n}$ .