De cuantas maneras un estudiante puede obtener $2m $ marcas

Question

El examen contiene cuatro pregunta cada papel con marcas máxima como $m$. Encontrar varias maneras de estudiante que aparece para todos los documentos de cuatro recibe un total de $2m$ marcas.

He utilizado generar método polinomial que es encontrar el coeficiente de $x^{2m}$ en

$$(1+x+x^2+\cdots+x^m)^4$ $, que es

$$(1-x^{m+1})^4(1-x)^{-4}$$ which gives the coefficient of $x ^ {2 m} $ como

$$\binom{2m+3}{3}-4 \times \binom{m+2}{m-1}$$

Pero la respuesta es simplemente $\binom{2m+3}{3}$. ¿Qué salió mal?

Answer 1

Consideremos las marcas en todos los papeles de $4$ $a,b,c,d$; $0\le a,b,c,d\le m$

%#% $ De #% ahora tenemos que encontrar la solución entera de la ecuación anterior en la condición dada.

Número de soluciones $$a+b+c+d=2m$, pero tenga en cuenta que también contiene las soluciones en que cualquier variable es mayor que $=\dbinom{2m+4-1}{4-1}=\dbinom{2m+3}{3}$.

Por lo tanto, necesitamos restar esas soluciones $m$ y $a\ge m+1$

+1, c\ge m, $t=a-(m=1),t\ge0$.$a+b+c+d=2m\implies t+b+c+d=m-1$$$\dbinom{m-1+4-1}{4-1}=\dbinom{m+2}{3}$b\ge m +1, d\ge m+1$and for $\dbinom{2m+3}{3}-4\times \dbinom{m+2}{3}$

Answer 2

Nada salió mal. Su respuesta es correcta.

Un poco más detallada de la que obtenemos mediante el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ de una serie: \begin{align*} \color{blue}{[x^{2m}]}&\color{blue}{(1+x+\cdots+x^m)^4}\\ &=[x^{2m}]\left(\frac{1-x^{m+1}}{1-x}\right)^4\\ &=[x^{2m}]\left(1-4x^{m+1}\right)\sum_{j=0}^\infty\binom{-4}{j}(-x)^j\tag{1}\\ &=\left([x^{2m}]-4[x^{m-1}]\right)\sum_{j=0}^\infty\binom{j+3}{3}x^j\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=\binom{2m+3}{3}-4\binom{m+2}{3}[[m\geq 1]]}\tag{3} \end{align*}

Comentario:

• En (1) se amplía el numerador a los poderes de $x^{m+1}$ desde los poderes superiores no contribuyen a $x^{2m}$ y utilizamos el binomio de expansión de la serie.

• En (2) utilizamos la linealidad del coeficiente de operador y aplicar la regla de $[x^{p-q}]A(x)=[x^p]x^qA(x)$. También utilizamos el binomio identidad $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$.

• En (3) seleccionamos los coeficientes en consecuencia. También utilizamos la Iverson soportes para el respeto que el exponente en $[x^{m-1}]$ es no negativo.