Demostrar que 1/3 no tiene representación decimal finita

Question

Hay un problema en el que necesito demostrar que 1/3 no tiene representación decimal finita

Aquí está mi prueba, ¿alguien puede decirme si es válida?

Prueba

Supongamos que existe una representación decimal para $\frac{1}{3}$ Por lo tanto:

$ \exists n,b \in \mathbb{N} $ : $ (\frac{b}{10^n}=\frac{1}{3}$ ) $ \land (\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{10^k}=\frac{1}{3})$

Por el teorema: $\frac{1}{3} = \frac{b}{10^n} $

b = $\frac{10^n}{3}$ = $\frac{(2 \times 5)^n}{3}$

Es una contradicción ( $b \notin \mathbb{N}$ ), Ya que esa fracción es irreducible (Tanto 2,5,3 son números primos).

¿Es válida mi prueba? Si no es así, ¿alguien puede explicar qué tiene de malo?

Gracias.

Answer 1

Es casi correcto, pero no se debe escribir $2.5$ cuando lo que quieres decir es $2\times5$ .

Y, sí, $\frac{(2\times5)^n}3=\frac{2^n5^n}3$ que es una fracción irreducible. Usted no dijo por qué es irreducible, pero es fácil: puesto que $3$ es primo y $3\nmid2^n5^n$ , $3$ y $2^n5^n$ son coprimos y, por tanto, sí, la fracción es irreducible.