Probabilidades maximizando productos

Question

Given es una expresión de la forma$P=P_1\times P_2\times\dots\times P_n$, donde cada$P_i$ es una suma de algunos elementos distintos de$\{x_1,x_2,\dots,x_k\}$. Queremos maximizar esta expresión sujeta a las restricciones$x_i\geq 0$ para todos$i$ y$\sum_{i=1}^k x_i=1$. Permita que$A$ sea el valor de$P_1$ al máximo. Deje que$B$ sea el valor de$P_1$ como máximo si maximizamos la expresión$P'=P_2\times P_3\times\dots\times P_n$, sujeto a las mismas restricciones.

¿Es cierto que$A\geq \frac{n-1}{n}B+\frac{1}{n}$?

Answer 1

Por lo que vale, probé algunos multiplicadores de Lagrange: Deje que$X=(x_1,...,x_k)$ y$Y_i\in \{0,1\}^k$ sean tales que$P_i=Y_i\cdot X$. Poniendo$$L(X)=\sum_i \ln(Y_i\cdot X)-\lambda(\textbf 1\cdot X-1)$$ gives for each $ j$, either $ x_j = 0$ or $ (\ sum_i \ frac1 {P_i} Y_i) _j = \ lambda = n $. Un par de observaciones:

1. $P_i=Y_i\cdot X$, por lo que lo anterior se puede volver a escribir como$(\sum_i X+Z_i)_j=n$ donde$Z_i\cdot X=0$.
2. $(\sum_i \frac1 {P_i}Y_i)\cdot X=n$

Con suerte, esto lleva a algo útil ...