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Hay

Tengo un ejercicio que me pregunten a demostrar que si (un) está disminuyendo, un0 todos los n n=1un convergen, a continuación,nun0. Me lo demostró, pero para mí este resultado correcto incluso si quitamos (un) disminuyendo. Porque tengo en cuenta que 1/n es el más rápido de la velocidad de la no convergencia, es decir, si nvn convergen, se han α s.t. vn1nα<1n todos los n durante un cierto n. Pero si imponemos un disminuyendo, tal vez mi imaginación está mal. Por lo que hay una secuencia s.t. n=1un convergen sino nun ?

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Mike Puntos 71

Para responder a la pregunta del título. Para cada entero positivo tu_{t^2} = \frac{1}{t^2}. Y para todos los rectangulares enteros positivos nu_n = \frac{1}{n^3}. Entonces

  1. Por un lado \sum_{j=1}^{\infty} u_j converge (como \sum_{t=1}^{\infty} \frac{1}{t^2} converge como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}).

  2. Por otro lado, t^2u_{t^2} = 1 para todos los enteros positivos t nu_n no converge a 0 n va al infinito. es decir, No importa cuán grande n es, existe un entero positivo n' s.t. n'u_{n'} =1, es decir, n' es cualquier cuadrado perfecto más grande que la de n.

El u_ns no son nonincreasing aunque.

2voto

Mike Earnest Puntos 4610

Se puede demostrar que si a_n es decreciente y na_n\not\to 0, \sum a_n diverge.

Prueba: Si na_n\not\to0, entonces no es un \epsilon>0 e infinitamente muchos índices n(1)<n(2)<\dots que a_{n(i)}\ge \epsilon/n(i). Desde a_n está disminuyendo, podemos agrupar los términos con base en cuál de los intervalos de [1,n(1)),[n(1),n(2)),\dots se encuentran en, y usted consigue \sum_n a_n \ge \sum_i (n(i+1)-n(i))\cdot \frac{\epsilon}{n(i)}\stackrel{*}=-\sum_i n(i+1)\Big(\frac{\epsilon}{n(i+1)}-\frac{\epsilon}{n(i)}\Big)=\epsilon \Big(\sum_i \frac{n(i+1)}{n(i)}-1\Big)\etiqueta{1} donde \stackrel{*}= sigue por sumación por partes (comprobar!).

Ahora, vamos a r(i) = \frac{n(i+1)}{n(i)}, con la convención de las r(0)=n(1). Es bastante estándar, un resultado que \sum_i r(i)-1<\infty \ffi \prod_i r(i)<\infty lo que sigue a partir de la \log x\sim x-1x\to1. Sin embargo, desde la \prod_{i=0}^k r(i)=n(k+1)\to\infty, se debe tener que la suma final en (1) diverge.

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