Hay

Question

Tengo un ejercicio que me pregunten a demostrar que si $(u_n)$ está disminuyendo, $u_n\geq 0$ todos los $n$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$ convergen, a continuación,$nu_n\to 0$. Me lo demostró, pero para mí este resultado correcto incluso si quitamos $(u_n)$ disminuyendo. Porque tengo en cuenta que $1/n$ es el más rápido de la velocidad de la no convergencia, es decir, si $\sum_{n}v_n$ convergen, se han $\alpha $ s.t. $v_n\leq \frac{1}{n^\alpha }<\frac{1}{n}$ todos los $n$ durante un cierto $n$. Pero si imponemos $u_n$ disminuyendo, tal vez mi imaginación está mal. Por lo que hay una secuencia s.t. $\sum_{n=1}^\infty u_n$ convergen sino $nu_n\not\to 0$ ?

Answer 1

Para responder a la pregunta del título. Para cada entero positivo $t$$u_{t^2} = \frac{1}{t^2}$. Y para todos los rectangulares enteros positivos $n$$u_n = \frac{1}{n^3}$. Entonces

1. Por un lado $\sum_{j=1}^{\infty} u_j$ converge (como $\sum_{t=1}^{\infty} \frac{1}{t^2}$ converge como $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$).

2. Por otro lado, $t^2u_{t^2} = 1$ para todos los enteros positivos $t$ $nu_n$ no converge a 0 $n$ va al infinito. es decir, No importa cuán grande $n$ es, existe un entero positivo $n'$ s.t. $n'u_{n'} =1$, es decir, $n'$ es cualquier cuadrado perfecto más grande que la de $n$.

El $u_n$s no son nonincreasing aunque.

Answer 2

Se puede demostrar que si $a_n$ es decreciente y $na_n\not\to 0$, $\sum a_n$ diverge.

Prueba: Si $na_n\not\to0$, entonces no es un $\epsilon>0$ e infinitamente muchos índices $n(1)<n(2)<\dots$ que $a_{n(i)}\ge \epsilon/n(i)$. Desde $a_n$ está disminuyendo, podemos agrupar los términos con base en cuál de los intervalos de $[1,n(1)),[n(1),n(2)),\dots$ se encuentran en, y usted consigue $$ \sum_n a_n \ge \sum_i (n(i+1)-n(i))\cdot \frac{\epsilon}{n(i)}\stackrel{*}=-\sum_i n(i+1)\Big(\frac{\epsilon}{n(i+1)}-\frac{\epsilon}{n(i)}\Big)=\epsilon \Big(\sum_i \frac{n(i+1)}{n(i)}-1\Big)\etiqueta{1} $$ donde $\stackrel{*}=$ sigue por sumación por partes (comprobar!).

Ahora, vamos a $r(i) = \frac{n(i+1)}{n(i)}$, con la convención de las $r(0)=n(1)$. Es bastante estándar, un resultado que $$ \sum_i r(i)-1<\infty \ffi \prod_i r(i)<\infty $$ lo que sigue a partir de la $\log x\sim x-1$$x\to1$. Sin embargo, desde la $\prod_{i=0}^k r(i)=n(k+1)\to\infty$, se debe tener que la suma final en $(1)$ diverge.