¿Por qué expansiones asintóticas no son comunes para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales y algebraicas?

Question

Hay muchos diferentes métodos numéricos para la solución parcial y algebraica de ecuaciones diferenciales. El comercial común y los paquetes de código abierto (por ejemplo, Elmer y OpenFOAM) uso de discretización/mallado basado en métodos tales como el de las diferencias finitas o de volumen finito.

Cuando yo estaba en bachillerato se utilizó para utilizar el poder de la serie para este asunto todo el tiempo. Tienen varias ventajas sobre otros métodos:

1. El resultado es fácilmente diferenciable/integrable
2. Parecen ser menos costoso computacionalmente (la solución se puede encontrar analíticamente/simbólicamente)
3. Complicado de contorno y condiciones iniciales, se puede aplicar fácilmente (como el movimiento de objetos)
4. No mallado es necesario
5. las soluciones son reutilizables, sólo el límite inicial/condiciones que deben ser aplicados

Sin embargo, es una sorpresa que no hay muchos privativo o de código abierto de software de aplicación de esta algoritmos. Al menos yo no lo he visto mucho. La única cosa que he visto hasta ahora es el de Mathematica AsymptoticDSolveValue función, que es sólo para las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ahora mi pregunta es ¿por qué asintótica métodos no son tan comunes para la resolución de ecuaciones diferenciales no lineales. Hay estudios científicos que muestran que son menos eficientes que los métodos comunes? Tal vez hay algunos productos y no soy consciente de ellos. Si ese es el caso, te agradecería si podrías dejarme saber.

P. S. 1. Hay otras series:

• Los polinomios de Chebyshev
• Padé funciones racionales approximant
• Interpolación de Lagrange
• Laurent serie
• Serie de Fourier

para mencionar algunos.

P. S. 2. Otros temas relevantes: método de Frobenius, la aproximación WKB, método Espectral, método de los elementos Finitos

Answer 1

Esta pregunta es muy amplia, y sus respuestas subjetivas (¿cómo se puede cuantificar la utilidad?), pero te puedo dar algunos comentarios.

1. Asintótica convergencia no está ampliamente garantizado a priori.

Cuando la solución de una elíptica de la PDE utilizando el método de los elementos finitos, no están bien establecidos los resultados, tales como el de Lax-Milgram teorema y Cea lema que el acabado sencillo "garantías" de que la solución de la eficiencia de tal problema. Esto es bueno porque la validez de tales teoremas sólo depende de la naturaleza de la ecuación, no de la solución.

Compare eso con, por ejemplo, tratando de obtener un desarrollo en serie de Taylor de la representación de un PDE solución a través de algunos de expansión de punto. Quien dice que la función es analítica sobre la totalidad del dominio? Y calcular el radio de convergencia con algo como la de Cauchy-Hadamard teorema requiere informado de conjeturas sobre el comportamiento de los coeficientes de una serie, que en sí mismos son obtenidos a partir de la solución de los intentos.

A menudo se obtiene el mismo problema en la teoría de la perturbación; que dice que un emparejado de la capa límite enfoque o aproximación WKB dará lugar a una serie convergente? Como yo lo entiendo, hay muy pocos teoremas que garantizan la convergencia de estas series sin tener un poco de información acerca de la solución.

2. Asintótica métodos son fundamentalmente locales.

La serie de enfoques que implican ortogonal función define (serie de Fourier, los polinomios de Chebyshev) el uso de la geometría de los espacios de Lebesgue para hacer las garantías acerca de la "bondad" de la aproximación: por ejemplo, que el $L^2$ norma del residual siempre disminuye a medida que aumentan los términos de la serie, que la serie es la mejor representación de la función específica de un subespacio, etc. Esto es debido al hecho de que tales series son la aproximación de la función a nivel mundial, mientras que asintótica de los métodos de enfoque de soluciones a nivel local. Como resultado, hay pocas amplio, general de garantías en asintótica de la serie, que puede mostrar extraños comportamientos divergentes en regiones específicas del dominio como en términos de la aproximación aumentar incluso si se comporta perfectamente bien cerca del punto de expansión local.

Los extraños comportamientos de asintótica de la serie son, para mí, simbolizada por el Portador de la regla: "Divergentes de la serie converge más rápido que el convergente la serie debido a que no tienen que converger".

3. Es difícil predecir la eficiencia computacional y solvencia de algorítmica asintótica métodos.

Porque asintótica métodos son locales y tienen pocos a priori garantías de portarse "bien", es muy difícil predecir si un algoritmo que emplea tales métodos termina o, si lo hace, la rapidez con la que lo haría. Considere la posibilidad de, en, quizás, de un modo tan ingenuo, un algoritmo de intentar un asintótica de expansión que debe coincidir con algunos condición de contorno en una región lejos de la expansión de punto, y el algoritmo termina cuando la aproximación es dentro de algunos de margen de error. Bien puede ser el caso de que no la expansión del tipo que quiera existe (a la Stokes o Whitehead paradoja), y como resultado, su algoritmo mantiene infructuosamente buscando el derecho de la función ad infinitum.