Justifica: si$x\gt 0$,$\;\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\cdot{\overbrace{\sin\sin\cdots\sin}^{n\space\text{sines}}(x)}=\sqrt{3}$

Question

Creo que he logrado mostrar que (si $x\gt 0$) $$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\cdot{\overbrace{\sin\sin\cdots\sin}^{n\space\text{sines}}(x)}=\sqrt{3}$$ Hice esto por la definición de una secuencia como $a_0=x$ y la recursividad $$a_{n+1}=\sin a_n$$ Me aproxima a continuación, la recursividad con los dos primeros distinto de cero términos de la serie de Maclaurin para el seno, me da $$\Delta a_n=-\frac{x^3}{6}$$ Me aproxima a continuación, esto con la ecuación diferencial $$y'=-\frac{y^3}{6}$$ Que luego se resuelve fácilmente... la respuesta se desprende de aquí.

Pregunta: ¿Cómo puede ser esto más rigurosos? No sé cómo justificar que mi aproximaciones son lo suficientemente buenas para th error a desaparecer bajo el límite. Lo que los teoremas son generalmente utilizados para justificar aproximaciones discretas recursiones con ecuaciones diferenciales? Creo que sé cómo justificar la aproximación de algunos de ellos con su serie de Maclaurin utilizando el Lagrange error de enlazado.

Answer 1

Esto puede no ser la respuesta que querías, cuz no puede ser generalizada.

Reclamo: $\lim n a_n^2 = 3$.

De la prueba. $\blacktriangleleft$ Tenga en cuenta que no importa que valor $x$ es, $a_1 = \sin (x) \in (-1,1)$, por lo que es suficiente para considerar si $x \in (0, \pi/2)$. Ahora $a_1 > 0$ y $a_2 0$. Por lo tanto existe límite $A = \lim a_n$. A resolver que $\sin (A) = A$, es decir, $[0, \pi/2]$ $A=0$ $a_n = o(1)$ da.

Ahora calcular el límite:\begin{align} \lim n a_n^2 &= \lim \frac n {an^{-2}} \ &= \lim \frac 1 {a{n+1}^{-2} - a_n^{-2}}\quad [\text {Stolz formula}]\ &= \lim \frac {an^2 a{n+1}^2} {an^2 - a{n+1}^2} \ &= \lim \frac {a_n^2 \sin(a_n^2)} {(a_n - \sin(a_n) )(a_n + \sin (a_n))} \ &= \lim \frac {a_n^4} {a_n^3/6 \cdot 2a_n} \quad [\sin(a_n) \sim a_n; a_n - \sin (a_n) \sim a_n^3/6]\ &= 3. \end{align} por lo tanto $\lim a_n \sqrt n = \sqrt 3. \blacktriangleright$

Answer 2

Supondré $0<x a="" cero.="" disminuye="" lo="" por="" que="" secuencia="" su="">Escriba $$b_n=a_n^2=\sin^2(\sin^{[n-1]}(x))$ $ donde usaré $\sin^{[m]}(x)$ para el compuesto de doble $m$ $\sin$. Nos gustaría probar $bn\sim 3/n$. $b{n+1}=\phi(bn)$ Donde $$\phi(t)=\sin^2\sqrt t=t-\frac{t^2}3+\frac{t^3}{12}+\cdots.$ $ entonces $$\frac1{b{n+1}}=\frac1{b_n}\left(1+b_n+O(b_n^2)\right) = \frac1{b_n}+\frac13+O(b_n). $$ $b_n\to0$ y $1/b_n$ aumentos por en % menos $1/4$, que $1/b_n<n a="" as="" bueno.="" constante="" continuaci="" es="" lo="" n="" n3="" que="" suficientemente="" y=""></n>

</x>

Answer 3

Ya que pediste una referencia, aquí es que he disfrutado durante muchos años:

Métodos asintóticos en análisis por N. G. de Bruijn, bastante barata en Dover y Amazonas.

Capítulo 8 cuenta con una extensa discusión de funciones iteradas que incluye la mayoría de los métodos en las respuestas a esta pregunta.

Answer 4

Tenemos

$$ \sqrt n \sin(\cdots \sin x) = a_n\\ \sqrt{n+1}\sin(\sin(\cdots \sin x)) = a_{n+1} $$

por lo tanto

$$ \sin\left(\frac{a_n}{\sqrt n}\right) = \frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}} $$

Analizando ahora el procedimiento iterativo

$$ u_{n+1} = \sin u_n $$

con $u_0 = \frac{\pi}{2}$ la secuencia

$$ \sqrt k u_k $$

es convergente y tiene un comportamiento que se muestra en el adjunto de la parcela

(en rojo $\sqrt 3$ y en azul $\sqrt k u_k$)