Evaluar

Question

<blockquote> <p>$$ \lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos (3x)}{\sin (3x^2)-\sin (x^2)} $$</p> </blockquote> <p>¿Hay una forma sencilla de encontrar el límite?<br>Sé que largo: reescribir como $$ -\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos(3x)}{\sin(3x^2)}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{\sin(3x^2)}{\sin(x^2)}} $ $ y luego encontrar ambos límites por separado al aplicar la regla de L'Hospital varias veces. La respuesta es $2$.<br></p>

Answer 1

Por límites estándar

• $\frac{\sin x}x \to 1$
• $\frac{1-\cos x}{x^2} \to \frac12$

tenemos

$$\frac{\cos x-\cos(3x)}{\sin(3x^2)-\sin(x^2)}=\frac{\frac{\cos x-1+1- \cos(3x)}{x^2}} {\frac{\sin(3x^2)-\sin(x^2)}{x^2}}=\frac{-\frac{1-\cos x}{x^2}+9\frac{1- \cos(3x)}{(3x)^2}} {3\frac{\sin(3x^2)}{3x^2}-\frac{\sin(x^2)}{x^2}}\to\frac{-\frac12+\frac92}{3-1}=2$$

Answer 2

Sugerencia: Utilizar $$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3a$ $ $$\cos 3a=4\cos^3a-3\cos a$ $ Editar: después de substutution es %#% $ #%

Answer 3

Usar polinomios de Taylor de orden $2$.

$\frac{\cos x-\cos (3 x)} {\sin (3 x ^ 2)-\sin (x^2)}=\frac{1-\frac{x^2}{2}-\left(1-\frac{(3x)^2}{2}\right)+o(x^2)}{3x^2-x^2+o(x^2)}=\frac{4x^2+o(x^2)}{2x^2+o(x^2)}=2+o(1) $$

Answer 4

Sugerencia: Utilice la factorización fórmula $$\cos a -\cos b =-2\sin{a+b\over 2}\sin{a-b\over 2}$ $ y $$\sin a -\sin b =2\sin{a-b\over 2}\cos{a+b\over 2}$ $

$$ \lim{x\to0}\frac{\cos x-\cos (3x)}{\sin (3x^2)-\sin (x^2)} = \lim{x\to0}\frac{2\color{red}{\sin 2x}\cdot \color{green}{\sin x}\cdot\color{blue}{x^2}}{\color{blue}{\sin (x^2)}\cos (2x^2)\cdot\color{red}{2x}\cdot \color{green}{x}} =2$$

Answer 5

Simplemente usa Taylor' fórmula en última instancia al orden $2$ para encontrar equivalentes: cerca de $0$, $$\cos u=1-\frac{u^2}2+o(u^2),\qquad \sin u=u+o(u)$ $ así\begin{align} \cos x-\cos 3x&=1-\frac{x^2}2+o(x^2)-\Bigl(1-\frac{9x^2}2+o(x^2)\Bigr)= 4x^2+o(x^2)\ \sin 3x^2-\sin x^2&=3x^2+o(x^2)-\bigl(\sin x^2+o(x^2)\bigr)=2x^2+o(x^2). \end {Alinee el} así el numerador equivale a $4x^2$, el denominador a $2x^2$, donde $$\frac{\cos x-\cos 3x}{\sin 3x^2-\sin x^2}\sim_0\frac{4x^2}{2x^2}=2.$ $