Estoy un poco confundido sobre el tema de los conjugados y cómo definirlos.
Sé que para un número complejo a−bia−bi, el conjugado es a+bia+bi y de manera similar para 1+√21+√2, el conjugado es 1−√21−√2 porque al multiplicarlos da una respuesta racional.
Pero ¿y para un simple número real como 1 o 2, cuál sería el conjugado de esto? ¿Existe un conjugado para un número real?
Soy nuevo en este tema y he intentado buscar en Maths SE y Google en vano; cualquier ayuda sería apreciada.
¡Cuidado! Estas son dos nociones diferentes de conjugado.
Primero tenemos el conjugado complejo, dado por ¯a+bi=a−bi. Luego, ya que podemos escribir un número real x como x+0i, el conjugado complejo de un número real es él mismo.
También hay una segunda idea de un conjugado racional, donde como en tu ejemplo, si a,b son racionales y d es libre de cuadrados, el conjugado de a+b√d es $a-b\sqrt{d}.
Hay una conexión entre estas dos ideas. En general, dado una extensión de campo E/F, toma un elemento algebraico α de E, y deja que m(x) sea su polinomio minimal sobre F. Luego llamamos a las otras raíces de m en E los conjugados de $\alpha.
En el caso de las extensiones C/R y Q(√d)/Q esto concuerda con lo anterior.
Puedo ver que esos son dos tipos diferentes de conjugados, pero al tratar i y √d como variables (meramente) indeterminadas, ¿no obtenemos una noción unificada de conjugación, como en el mapeo de α+βy a α−βy cuando este mapeo tiene sentido (como en una estructura bien definida y conserva la estructura algebraica)? En ambos casos, α es mapeado a sí mismo y declaramos que el conjugado de α es él mismo.
La noción de un conjugado surge cuando tienes una función naturalmente definida c de un conjunto a sí mismo tal que para todo x tienes c(c(x))=x. Entonces c(x) es el conjugado de $x.
Eso sucede naturalmente cuando los números de los que estás pensando son de la forma a+b√d para algún d. Entonces defines la función conjugada cambiando el signo de $b.
En este caso, 2 será su propio conjugado.
El conjugado de 1+√2 es complicado. A veces es 1−√2 pero en los números complejos es solo 1+√2 (él mismo) ya que es un número real.
Quizás fuera del alcance de la pregunta, pero diría que un conjugado debe estar con respecto a algún subconjunto, es decir, c(x)=x para cada x en el subconjunto, así como c(c(x))=x para cada x en el conjunto completo. Suponiendo que solo los miembros del subconjunto cumplen la primera condición, tenemos c(x⋅c(x))=c(x)⋅c(c(x))=x⋅c(x) lo que significa que x⋅c(x) siempre está en nuestro "subconjunto especial" (en otras palabras, un conjugado de L sobre K es una involución no trivial en Aut(L/K))
Creo que deberías aclarar "números de la forma a + b sqrt (d)", evidentemente no está bien definido cuando se consideran números reales o cuando d es un cuadrado perfecto. Además, la oración "A veces..." podría aclararse, no es como si fuera no determinística, dependiendo del contexto y objeto considerado, quedará claro a qué noción de conjugación se está refiriendo.
Por lo general, nuestra definición de "conjugado" se refiere a números complejos: el conjugado de a+bi es a−bi. Podrías decir "conjugado complejo" para ser más específico.
Nota que 1+√2 es un número real, por lo que su conjugado es 1+√2.
Una forma interesante de pensar en los conjugados es cómo están relacionados en el plano complejo (en un diagrama de Argand). Dado un número complejo, reflejalo a través del eje horizontal (real) para obtener su conjugado. Dado que 1, 2 y 1+√2 todos se encuentran en la recta real, son sus propios conjugados.
Yendo un poco más allá, puedes definir conjugados en diferentes campos. Los números complejos son una extensión de los números reales con el número i. Podemos escribir esta "extensión de campo" como C=R(i).
Trabajando en cambio en Q(√2) (los racionales extendidos con √2), puedes definir el conjugado de a+b√2 como a−b√2. ¡Pero no te preocupes mucho por esto si eres nuevo en el tema!
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Dado que R⊂C, cualquier a∈R puede ser escrito de la siguiente manera: a=a+i⋅0.
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Hay conjugado complejo para números complejos, y también hay conjugado cuadrático para números algebraicos de la forma p+q√d con p,q∈Q y d∈Z que no es un cuadrado.