De fondo
No SSB en lo finito de los sistemas de
Considere un sistema que interactúa con un baño de calor al inverso de la temperatura de $\beta$, con el resultado de la dinámica del sistema descrito por una Liouvillian superoperator $\mathcal{L}$. Si este sistema es finito, entonces bajo bastante condiciones generales en $\mathcal{L}$, esperamos que el estado de equilibrio $\rho$, lo $\mathcal{L}(\rho) = 0$, para ser única dada por el estado de Gibbs
$$ \rho_{\mathrm{gibbs}} = \dfrac{e^{-\beta H}}{\mathrm{Tr}\left[ e^{-\beta H} \right]}, $$
donde $H$ es el Hamiltoniano del sistema.
Deje $\mathcal{G}$ ser el grupo de simetría de la Hamiltoniana, lo que significa que hay una representación unitaria $U$ $\mathcal{G}$ tal que $[H, U(g)] = 0$ todos los $g \in \mathcal{G}$. Está claro que también tenemos $[\rho_{\mathrm{gibbs}}, U(g)] = 0$, por lo que el Gibbs estado conserva todas las simetrías de la Hamiltoniana. En este sentido, me parece que no puede haber ruptura espontánea de simetría (SSB) en finito de sistemas.
SSB en infinidad de sistemas (y KMS unidos)
La típica narrativa luego procede a decir que, de hecho, SSB puede ocurrir, pero sólo en el infinito de los sistemas. Aquí no hay ninguna garantía de que $e^{-\beta H}$ es de traza de clase, por lo que en general el Gibbs estado no está bien definida. Para extender la noción de un "térmica" estado infinito de sistemas, por lo general se define el llamado KMS estados. Estos son los estados de $\phi$ que satisfagan los KMS condición, que puede (de manera informal) se indica como
$$ \langle (t) de B \rangle_{\phi} = \langle B(t + i\beta) \rangle_{\phi}, $$
para todos los operadores de $A$ $B$ en el álgebra de operadores, donde $\langle \cdot \rangle_{\phi}$ indica una expectativa de valor con respecto al estado $\phi$. (Omito todos los $C^{*}$algebraicas detalles aquí por razones de brevedad.)
Hay un gran cuerpo de literatura que muestra que los KMS de los estados de preservar las propiedades que consideramos clave para la definición de un estado térmico, tales como estados de equilibrio, pero quedan bien definidos para el infinito de los sistemas.
Para sistemas finitos, creo que el KMS condición única especifica un estado: el Gibbs estado. Sin embargo, para el infinito de los sistemas de esto no es necesariamente el caso, y, a grandes rasgos, la SSB se produce cuando hay varios KMS estados, cada uno de los cuales no se conserva por el grupo de simetría de la Hamiltoniana.
Pregunta
Ambos experimentos y simulaciones numéricas muestran los sistemas con un comportamiento que parece muy similar a la de SSB (ferromagnetos existe!). Sin embargo, estos sistemas del mundo real son claramente finito, por lo que los argumentos anteriores sugieren que no se puede mostrar SSB. ¿Cuál es la explicación para esta discrepancia?
Pensamientos en una respuesta
Aunque finito, en el mundo real experimentos pueden a menudo por bastante eficacia descrita por tomar el infinito límite de tamaño. Si esto es apropiado, entonces tal vez la dinámica de estos grandes sistemas finitos puede ser bien aproximada por infinitos sistemas, al menos en algunos de los grandes de la escala de tiempo $\tau$ que, presumiblemente, crece rápidamente con el tamaño del sistema. Entonces podríamos esperar que estos sistemas finitos para mostrar las firmas de SSB en el plazo $\tau$, después de lo cual se decaimiento de la Salud del estado y la simetría será restaurado. Si esto es a lo largo de las líneas correctas, es posible que algo de esto se hizo preciso?
