Medida de conjunto donde la función holomórfica es grande

Question

Supongamos que$f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ es una función entera no constante. Según el teorema de Liouville, sabemos que$f$ debe tomar valores arbitrariamente grandes. Sin embargo, Liouville no dice nada sobre cómo debe verse este gran conjunto. En particular, ¿es posible que los valores grandes de$f$ se concentren en un conjunto de medidas pequeñas?

Más precisamente, ¿existe una función entera no constante$f$ tal que$\lambda(\{x: |f(x)|>1 \})<\infty$? Aquí$\lambda$ denota la medida$2$ - dimensional de Lebesgue.

Answer 1

Este conjunto puede tener una medida finita. Véase, por ejemplo, MR0537357 Gol'dberg, AA Conjuntos en los que el módulo de una función completa tiene un límite inferior, Sibirsk. Estera. Z h. 20 (1979), no. 3, 512-518, 691. (Hay una traducción al inglés: Siberian Math. Journal, 20 (1980) 360-364).