Decir que las dos funciones son iguales es contar sólo la mitad de la historia. Las funciones se describen como inyecciones, suryecciones y biyecciones, y cuál de ellas depende de la invertibilidad de la función.
Cuando hablamos de inyecciones, etc., nos centramos en el codominio porque, por defecto, todos los elementos del dominio están sujetos a la función.
Una inyección se produce cuando un elemento del codominio tiene asignado como máximo un elemento del dominio. Nótese que "como máximo uno" incluye ninguno. Es decir, todos los elementos del dominio se asignan a un solo elemento del codominio, pero puede haber elementos del codominio que no tengan asignación con el dominio.
Un suryecto es cuando un elemento del codominio tiene al menos un elemento del dominio asignado a él. Obsérvese que "al menos uno" implica que todos los elementos del codominio son asignados por el dominio, de ahí que la palabra alternativa sea "sobre". Por tanto, con una suryección, todos los elementos del dominio se asignan a todos los elementos del codominio, pero más de un elemento del dominio puede asignarse al mismo elemento del codominio.
Una biyección es a la vez una inyección y una sobreyección. Por lo tanto, las frases "como máximo uno" y "como mínimo uno" sólo pueden combinarse en la frase "uno, y sólo uno".
En cuanto a la invertibilidad, recuerda que el dominio de una función, por defecto, incluye todos los elementos. Por lo tanto, dado que una inyección puede no asignar el dominio a todo el codominio, la invertibilidad puede necesitar la modificación del codominio para convertirse en el dominio de la inversa. Por otro lado, una suryección incluye todos los elementos del codominio, por lo que la inversa tiene éste como dominio, pero estos elementos pueden mapearse a más de un elemento de su codominio, el dominio anterior. Por tanto, los elementos del codominio de la inversa se asignarían al menos a un elemento (de hecho, sólo a uno) de su dominio, por lo que sería una suryección. Por supuesto, una biyección sería un mapeo uno a uno con el inverso.
Por lo tanto, una suryección y una biyección deberían poder invertirse fácilmente, mientras que una inyección necesitaría la modificación del codominio de la función para convertirse en el dominio de la inversa.
En el caso de las dos funciones citadas, es evidente que ambas son inyecciones, no sur ni biyecciones.
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La función es la misma si y sólo si el dominio, el codominio y la correspondencia coinciden.
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@nicomezi de acuerdo permíteme cambiar un poco la pregunta, no era eso lo que pedía.
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Depende del ojo del espectador. Siguiendo estrictamente la definición de función, se trata del mismo conjunto de pares. Sin embargo, vistos como morfismos (flechas) entre conjuntos, son dos flechas entre dos pares de conjuntos diferentes. Verlas como una u otra depende de si se quiere estudiar la función en sí misma o la flecha entre conjuntos.
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@spiralstotheleft No creo que Math funcione con eso de "el ojo del que mira" :/
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@William Eso es porque no has tenido suficiente experiencia con él. Muchas definiciones dependen mucho de con quién estés hablando. Te invito a que mires la definición de función y la definición de conjunto, aplicadas a la relación f y ver si se deduce que estos dos son iguales o no. Lo curioso es que, probablemente, tu profesor te dio esa definición de función y no se dio cuenta de que sí implica que esas dos son iguales.
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@William Si tu profesor definió una función f:A→B como subconjunto de A×B tal que si (x,y)∈f y (x,z)∈f entonces y=z que es lo más probable, entonces esas dos funciones que escribiste son realmente la misma. Tu profesor simplemente no se dio cuenta.
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@William Si tu profesor definió una categoría, por ejemplo la categoría de conjuntos, y está viendo morfismos entre ellos, entonces sí, el primero es un elemento de Hom(R,[−5,5]) mientras que el segundo es un elemento de Hom(R,R) .
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@spiralstotheleft: Es un poco complicado, porque el uso de tipos dependientes no siempre está claro; por ejemplo, una persona puede estar escribiendo la definición de "una función de A a B ", pero es fácil confundirlo con la definición de "una función".
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Véase también el post ¿Son iguales estas funciones?
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Depende de la definición de "función" que se dé en tu clase. En algunas clases/libros, una función es una triple ordenada (f,A,B) donde A y B son conjuntos y f es un cierto subconjunto del producto cartesiano de A y B. (Si esta es la definición, entonces f se llama a veces el "grafo" de (f,A,B)). Con esta definición, al cambiar el conjunto B cambia ciertamente la función, ya que cambia la triple ordenada. Una razón para definir una función como una triple ordenada de esta manera es hacer una definición sensata de una "función suryectiva". Que (f,A,B) sea o no suryectiva depende del B elegido.