¿Por qué $\sin : \mathbb{R} \to [-5,5]$ diferente de $\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ?

Question

Mi profesor dice que estas dos funciones son diferentes, pero ¿por qué?

$$\sin : \mathbb{R} \to [-5,5] \tag{1}$$

$$\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \tag{2}$$

Ambos tienen el mismo dominio y alcance. ¿Qué diferencia supone cambiar el codominio en este caso, siempre y cuando mantenga el codominio como un superconjunto del rango?

En términos más generales, $f : A \to B$ y $f: A \to C$ donde $B$ y $C$ son el codominio de la misma función $f$ y son superconjuntos de la gama de $f$

¿Qué diferencia habría? ¿Cómo podría cambiar el codominio (en este caso) las funciones son diferentes? ¿No es la función $f$ ¿Igual?

Answer 1

La diferencia que supone cambiar los codominios es que has cambiado el codominio; ya no tienes aquello con lo que empezaste.

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En realidad, hay dos concepciones principales de la noción de "función" flotando por ahí. A falta de un nombre mejor, las llamaré versión "tipada" y versión "no tipada".

En el mecanografiado noción de función, los tipos del argumento de entrada y de salida de una función forman parte de su identidad. El concepto fundamental aquí es "una función de A a B", así que si cambias B estás hablando de algo diferente. Cuando se dice simplemente "función", el hecho de que haya un A y un B asociados a la función sigue estando implícito; por ejemplo, la elección concreta de A y B puede deducirse del contexto, o quizá estemos diciendo algo que será cierto sean cuales sean A y B.

En el no tipificado noción de función, que llamaré simplemente "grafo", no está ligada a tipos; a menudo se concibe simplemente como un conjunto que contiene posibles pares de entrada-salida. Dado cualquier par de conjuntos $A$ y $B$ podemos preguntarnos si un gráfico puede interpretarse como una función de $A$ a $B$ . Esta es, creo, la noción que tiene en mente.

Tu profesor utiliza "función" en el sentido tipográfico; tú, en cambio, tienes en mente la noción de gráfico.

Answer 2

Como se ha explicado detalladamente aquí una función es un triple

1. un primer conjunto $A$ (dominio)

2. un segundo conjunto $B$ (codominio)

3. una ley (es decir, una regla, una relación, etc.) tal que en cada elemento de $A$ se asocia un único elemento de $B$ es decir

$$\forall x\in A \quad \exists ! y\in B:\,y=f(x)$$

Por lo tanto, en ese caso

• $\sin : \mathbb{R} \to [-5,5]$
• $\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

son funciones diferentes ya que tienen codominios diferentes.

Para apreciar esta definición, consideremos el caso

• $f(x)=x^2 \quad \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

• $f(x)=x^2 \quad \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$

en ese caso la "ley" es la misma pero sólo la segunda es biyectiva e invertible.

Por lo tanto, cuando definimos una función siempre es necesario, para tener una definición completa, declarar también su dominio y codominio.

Answer 3

Decir que las dos funciones son iguales es contar sólo la mitad de la historia. Las funciones se describen como inyecciones, suryecciones y biyecciones, y cuál de ellas depende de la invertibilidad de la función.

Cuando hablamos de inyecciones, etc., nos centramos en el codominio porque, por defecto, todos los elementos del dominio están sujetos a la función.

Una inyección se produce cuando un elemento del codominio tiene asignado como máximo un elemento del dominio. Nótese que "como máximo uno" incluye ninguno. Es decir, todos los elementos del dominio se asignan a un solo elemento del codominio, pero puede haber elementos del codominio que no tengan asignación con el dominio.

Un suryecto es cuando un elemento del codominio tiene al menos un elemento del dominio asignado a él. Obsérvese que "al menos uno" implica que todos los elementos del codominio son asignados por el dominio, de ahí que la palabra alternativa sea "sobre". Por tanto, con una suryección, todos los elementos del dominio se asignan a todos los elementos del codominio, pero más de un elemento del dominio puede asignarse al mismo elemento del codominio.

Una biyección es a la vez una inyección y una sobreyección. Por lo tanto, las frases "como máximo uno" y "como mínimo uno" sólo pueden combinarse en la frase "uno, y sólo uno".

En cuanto a la invertibilidad, recuerda que el dominio de una función, por defecto, incluye todos los elementos. Por lo tanto, dado que una inyección puede no asignar el dominio a todo el codominio, la invertibilidad puede necesitar la modificación del codominio para convertirse en el dominio de la inversa. Por otro lado, una suryección incluye todos los elementos del codominio, por lo que la inversa tiene éste como dominio, pero estos elementos pueden mapearse a más de un elemento de su codominio, el dominio anterior. Por tanto, los elementos del codominio de la inversa se asignarían al menos a un elemento (de hecho, sólo a uno) de su dominio, por lo que sería una suryección. Por supuesto, una biyección sería un mapeo uno a uno con el inverso.

Por lo tanto, una suryección y una biyección deberían poder invertirse fácilmente, mientras que una inyección necesitaría la modificación del codominio de la función para convertirse en el dominio de la inversa.

En el caso de las dos funciones citadas, es evidente que ambas son inyecciones, no sur ni biyecciones.