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Nuestro principal reclamo es el siguiente:
La proposición. Deje $(\lambda_n)$ ser un aumento de la secuencia de los números reales positivos. Si $(\lambda_n)$ satisface $$\lim_{R\to\infty} \frac{1}{R} \int_{0}^{R} \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{1}_{[\lambda_{2n}, \lambda_{2n+1}]}(x) \, dx = \alpha \tag{1} $$ para algunos $\alpha \in [0, 1]$, luego $$\lim_{s\to0^+} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-\lambda_n s} = \alpha \tag{2} $$
Aquí, una secuencia $(\lambda_n)$ es creciente si $\lambda_n \leq \lambda_{n+1}$ todos los $n$. Como corolario de esta proposición, se obtienen los siguientes más fácil criterio.
Corolario. Deje $(\lambda_n)$ será cada vez más una secuencia de números reales positivos que satisfacen
- $\lim_{n\to\infty} \lambda_n = \infty$,
- $\lim_{n\to\infty} \lambda_{n+1}/\lambda_n = 1$,
- $\lambda_{2n} < \lambda_{2n+2}$ celebrar por todo lo suficientemente grande $n$ y $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\lambda_{2n+1} - \lambda_{2n}}{\lambda_{2n+2} - \lambda_{2n}} = \alpha. \tag{3} $$
Luego tenemos a $\text{(1)}$. En particular, la conclusión de $\text{(2)}$ de la demanda principal sigue manteniendo.
Aquí están algunos ejemplos:
La elección de $\lambda_n = \log(n+1)$ satisface las hipótesis con las $\alpha = \frac{1}{2}$. De hecho, esto se reduce a la arquetípica ejemplo,$\eta(0) = \frac{1}{2}$.
OP conjetura es cubierto por el corolario eligiendo $\lambda_n = \log(n!)$, y observando que $\text{(3)}$ mantiene con $\alpha = \frac{1}{2}$.
Si $P$ no es una constante del polinomio tal que $\lambda_n = P(n)$ es positivo, $(\lambda_n)$ debe ser estrictamente creciente para un gran $n$, y utilizando el valor medio teorema nos encontramos con que las hipótesis están satisfechos con $\alpha = \frac{1}{2}$.
La prueba de la Proposición. Escribir $F(x) = \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{1}_{[\lambda_{2n}, \lambda_{2n+1}]}(t) \right) \, dt$ y la nota que
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-\lambda_n s} &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\lambda_{2n}}^{\lambda_{2n+1}} s e^{-sx} \, dx = \int_{0}^{\infty} s e^{-sx} \, dF(x) \\ &= \int_{0}^{\infty} s^2 e^{-sx} F(x) \, dx \stackrel{u=sx}{=} \int_{0}^{\infty} s F(u/s) e^{-u} \, du. \end{align*}
Desde $0 \leq F(x) \leq x$, el integrando de la última integral es dominado por $ue^{-u}$ uniformemente en $s > 0$. También, por la assupmption $\text{(1)}$, $s F(u/s) \to \alpha u$ $s \to 0^+$ por cada $u > 0$. Por lo tanto, se deduce del teorema de convergencia dominada de que
$$ \lim_{s\to0^+} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-\lambda_n s} = \int_{0}^{\infty} \alpha u e^{-u} \, du = \alpha $$
lo que completa la prueba. ////
La prueba del Corolario. Para cada uno de los gran $R$, pick $N$ tal que $\lambda_{2N} \leq R \leq \lambda_{2N+2}$. Entonces
$$ \frac{1}{R} \int_{0}^{R} \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{1}_{[\lambda_{2n}, \lambda_{2n+1}]}(x) \, dx \leq \frac{\lambda_{2N+2}}{\lambda_{2N}} \cdot \frac{\sum_{n=0}^{N} (\lambda_{2n+1} - \lambda_{2n})}{\sum_{n=0}^{N} (\lambda_{2n+2} - \lambda_{2n})} $$
y este límite superior converge a $\alpha$ $N\to\infty$ por Stolz–Cesàro teorema. Argumento Similar se aplica el límite inferior
$$ \frac{1}{R} \int_{0}^{R} \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{1}_{[\lambda_{2n}, \lambda_{2n+1}]}(x) \, dx \geq \frac{\lambda_{2N}}{\lambda_{2N+2}} \cdot \frac{\sum_{n=0}^{N-1} (\lambda_{2n+1} - \lambda_{2n})}{\sum_{n=0}^{N-1} (\lambda_{2n+2} - \lambda_{2n})} $$
demuestra el deseado de reclamación junto con la contracción teorema. ////
Definir $S(x,\,y):=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^n}{n!^x}e^{-ny}$, que converge para cualquier $x>0$ $y\ge 0$ y cualquier $y>0$$x\ge 0$. Grandi a la serie de $\sum_{n\ge 0}(-1)^n$ no convergen a un valor específico (a pesar de que sus sumas parciales también no tienden a $\pm\infty$), pero se dijo a Abel summable a$\frac{1}{2}$, en el sentido de $\lim_{y\to 0^+}S(0,\,y)=\frac{1}{2}$, que se puede demostrar fácilmente con la serie geométrica. La prueba de que usted está buscando es $$\lim_{x\to 0^+}S(x,\,0)=\lim_{x\to 0^+}\lim_{y\to 0^+}S(x,\,y)=\lim_{y\to 0^+}\lim_{x\to 0^+}S(x,\,y)=\lim_{y\to 0^+}S(0,\,y)=\frac{1}{2}.$$The part that requires a careful explanation is why we can commute the limits at the second $=$ sign. Again, the key insight is that the leftmost limit is computed for a non-zero argument, and that implies varying the rightmost limit towards $0$ tiene continuamente convergen a un valor finito.
