Un mapa uniforme$f: M \to N$ entre variedades múltiples es una inmersión si cada jacobiano$$Df_x: DM_x \to DN_{f(x)}$ $is surjective. How do I construct a vector bundle $% \ kappa_f$ built out of the kernels of the $ Df_x $?
Respuesta
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Claramente el subconjunto de $TM$ definido por esto tiene un espacio vectorial sobre cada fibra y un mapa de proyección a $M$; lo que quiere demostrar que es local, la trivialidad de la proyección. Pero esto se sigue del teorema de la función implícita: en un gráfico de $U \subset M$, el mapa de $f$ es de la forma estándar de una proyección de $\Bbb R^n \to \Bbb R^k$. Entonces el núcleo de la Jacobiana aquí es $\Bbb R^n \times \Bbb R^{n-k} \subset \Bbb R^n \times \Bbb R^n = T\Bbb R^n$, lo cual es trivial - de ahí el vector paquete es de hecho localmente trivial, como se desee.
(En realidad, si usted pone una métrica de Riemann en $M$, puede construir un isomorfismo $\kappa_f \oplus f^*TN \cong TM$.)
