Dejemos que $f: R_1 \rightarrow R_2$ sea un homomorfismo de anillo. ¿Es $r \in R_1$ siendo la media no invertible $f(r)$ no es invertible?

Question

Dejemos que $f: R_1 \rightarrow R_2$ sea un homomorfismo de anillo. ¿Es $r \in R_1$ siendo la media no invertible $f(r)$ no es invertible?

Esto parece incorrecto, pero me resulta difícil encontrar un contraejemplo...

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia : Considere la inclusión $\Bbb Z \to \Bbb Q$ .

Answer 2

Tomemos un producto directo y utilicemos un homomorfismo de olvido.

Considere $f : \mathbb{R}\times (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) \longrightarrow \mathbb{R}$ definido como $f: (a,b) \mapsto a$ (por eso lo llamamos olvidadizo: sólo olvida parte de la estructura).

Claramente, $\mathbb{R}$ es un campo, por lo que cada elemento de $\mathbb{R}$ es invertible. Pero $(*,2)$ no es invertible en $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ . De hecho, cada elemento de $\mathbb{R}$ es la imagen de un elemento no invertible.

Answer 3

Una pista: Empezar con el anillo $\mathbb{Q}[x]$ . de polinomios con coeficientes racionales. El polinomio $x+1$ no es invertible. Se puede encontrar un bonito homomorfismo de $\mathbb{Q}[x]$ a $\mathbb{Q}$ que envía $x+1$ a $1$ .