¿Por qué preservar los límites directos exactitud?

Question

He escuchado que tomar directo de los límites es un functor exacto en la categoría de módulos, y estoy tratando de averiguar por qué, como no pude encontrar una prueba.

Supongamos que usted tiene homomorphisms $\varphi_i: K_i\to N_i$ $\psi_i: N_i\to M_i$ $(K_i,h^i_j)$, $(N_i,g^i_j)$, y $(M_i,f^i_j)$ dirigido los sistemas de módulos que $0\to K_i\to N_i\to M_i\to 0$ es exacto para cada $i$.

¿Por qué es $0\to\varinjlim K_i\to\varinjlim N_i\to\varinjlim M_i\to 0$ también exacto?

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Así que lo dejé $\varphi:\varinjlim K_i\to\varinjlim N_i$ $\psi:\varinjlim N_i\to\varinjlim M_i$ ser el natural homomorphisms. Tome $x\in\ker\psi$. A continuación, $x=g^i(x_i)$ algunos $x_i\in N_i$. A continuación,$0=\psi(g^i(x_i))=f^i(g^i(x_i))$. Sé que existe una $j\geq i$ tal que $f^i_j(g^i(x_i))=0$$M_j$. Pero $f^i_j\circ\psi_i=\psi_j\circ g^i_j$, lo $g^i_j(x_i)\in\ker\psi_j=\text{im}(\varphi_j)$. A continuación, $g^i_j(x_i)=\varphi_j(y_j)$ algunos $y_j\in K_j$, por lo que $$ x=g^i(x_i)=g^j(g^i_j(x_i))=g^j(\varphi_j(y_j))=\varphi(h^j(y_j)) $$ y por lo $\ker\psi\subseteq\text{im}\varphi$.

Por el contrario, supongamos $x\in\text{im}\varphi$. A continuación, $x=\varphi(y)$ algunos $y=h^i(y_i)$$y_i\in K_i$. Por lo $x=\varphi(h^i(y_i))=g^i(\varphi_i(y_i))$. Así $$ \psi(x)=\psi(g^i(\varphi_i(y_i)))=f^i(\psi_i(\varphi_i(y_i)))=0 $$ desde $\psi_i\circ\varphi=0$. A continuación,$\ker\psi=\text{im}\varphi$. (Por favor, hágamelo saber si he escrito una tontería, demasiados mapas puede causar que me pierden!)

Lo que me molesta es, es $\varphi$ inyectiva y $\psi$ surjective ver que la corta secuencia exacta es en realidad exacta? ¿Hay algún hecho obvio de que me estoy perdiendo? Si es posible, hay una explicación en la misma línea que el anterior (es decir, el uso de los mapas y la manipulación de los elementos sin depender de la más general de los hechos de la categoría de teoría? No estoy muy bien informado sobre el último.) Gracias.

Answer 1

Esto es suficiente para mostrar que si $K_i\to M_i\to N_i$ es exacta en $M_i$ por cada $i$ (y las correspondientes plazas conmutar), a continuación, $\varinjlim K_i\to \varinjlim M_i\to \varinjlim N_i$ es exacta en $\varinjlim M_i$.

(Para obtener ese $\varinjlim$ envía corto exacta de secuencias cortas exacta de secuencias a partir de esto, basta con aplicar el argumento de a $0\to K_i\to M_i$, exacto en$K_i$;$K_i\to M_i\to N_i$; y, a continuación, a $M_i\to N_i\to 0$).

Llame el primer mapa de $f_i$ (inducida por el mapa de límites de $f$), el segundo $g_i$ (inducida por el mapa de $g$); el uso de $\kappa$, $\mu$, y $\nu$ para la estructura de los mapas.

Dado $[(k,i)]$,$g(f([(k,i)])) = g([f_i(k),i]) = [g_i(f_i(k)),i] = [0,i]$, por lo que la composición es trivial. Es decir, $\mathrm{Im}(f)\subseteq \mathrm{Ker}(g)$.

Supongamos ahora que $g([(m,i)]) = [(0,j)]$. Entonces existe $t\geq i$ tal que $\nu_{it}(g_i(m)) = 0$; por lo tanto $g_t(\mu_{it}(m)) = 0$, así que por la exactitud del diagrama original sabemos que existe $k\in K_t$ tal que $f_t(k) = \mu_{it}(m)$. Por lo tanto, $$f([k,t]) = [(f(k),t)] = [(\mu_{it}(m),t)] = [(m,i)],$$ so $[(m,i)]$ lies in the image of $f$. Thus, $\mathrm{Im}(f)\supseteq \mathrm{Ker}(g)$, demostrando la igualdad.

Ahora, esto demuestra que el $\varinjlim$ es exacta; en cuanto a "por qué" es exacto (hay algunos en el fondo por qué es exacto)? No sé si puedo contestar.