Demuestre que si$\int_A f$ existe y$B$ tiene volumen, entonces$\int_B f$ existe.

Question

Sea f un valor real de la función de un subconjunto $A$ $E^n$ y deje $B \subset A$. Mostrar que si $\int_A f$ existe y $B$ tiene un volumen, a continuación, $\int_B f$ existe.

Nota: el Volumen es el Jordan medida. La integración de Riemann tipo.

Edit: he eliminado de mi trabajo para la primera parte como supuse que era correcto. Necesito ayuda con el anterior.

En este trabajo?

$$\int_A f = \int_{E^n} f \Bbb 1_A $$ $\Bbb 1_B$ existe porque $B$ volumen ($\Bbb 1$ es indicador de la función). Por lo tanto, $$\int_{E^n} f \Bbb 1_B $$ existe. Y, $$\int_{E^n} f \Bbb 1_B = \int_B f $$

Esto parece demasiado fácil.

Answer 1

Croquis de la prueba:

Vamos a suponer que el conjunto a es acotado, por lo que puede encerrado en un rectángulo. Ahora, sabemos que la función $g:A \to \mathbb{R}$ es Riemann-integrable iff conjunto de discontinuidades de $g$, forma un conjunto de medida cero (es decir, para todos los $\epsilon > 0$ podemos encontrar una discontinuo finito rectángulo cuya cubierta jordania medida es menos de $\epsilon$).

Sabemos que $f:A \to \mathbb{R}$ es Riemann-integrable, por lo que su' conjunto de discontinuidades tiene medida cero. Además, $B \subset A$ tiene un volumen. Lo que significa que $1_B$ es Riemann-integrable y, por tanto, su' conjunto de discontinuidades también tiene medida cero.

Para mostrar que $\int_B f$ existe es suficiente para demostrar que las discontinuidades de la función $1_B \cdot f$ tiene medida cero.

La idea principal es encerrar las discontinuidades de la función por separado con las familias de los distintos rectángulos, $C_1, C_2$ con jordania medidas de $m(C_1),m(C_2) \leq \frac{\epsilon}{2}$. A continuación, la formación de una nueva familia de $C_3 = C_1 \cup C_2$. Funciones de $f$ $1_B$ son continuos fuera de $C_3$, por lo tanto, su producto también es continua. Ahora, la Medida del conjunto de $C_3$ es en la mayoría de las $m(C_1) + m(C_2) \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$. Por lo tanto, las discontinuidades de $1_B \cdot f$ formar un conjunto de medida cero.

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Esto es sólo un esbozo de la prueba. Para ser más precisos, debemos ser más cuidadosos acerca de:

• supuestos en el conjunto A (es limitada, rectángulo o tiene un volumen de sí mismo)
• forma de Lebesgue criterio que utilizamos (es la medida de Jordania o de Lebesgue y lo asumimos desde el conjunto que integramos más)