Cómo probar$n!>(\frac{n}{e})^{n}$

Question

Pruebalo $n!>\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}$.

Usé el principio de inducción pero no puedo resolverlo por el término$(m+1)$ - th después de tomar el término$m$ th para que sea verdadero.

Answer 1

Aquí la clave es usar la definición apropiada de$e^x$, a saber:

ps

Conectando$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k$ obtenemos

ps

y por lo tanto, dividiendo un poco esta suma obtenemos nuestra desigualdad:$x = n$ $

Answer 2

Sugerencia: muestre que $$ \ ln (n!) = \ Sum_ {k = 1} ^ n \ ln k> \ int_1 ^ n \ ln x \, dx. $$

Answer 3

Inductivamente, si$n!>\frac{n^n}{e^n}$ y multiplicas ambos lados por$n+1$, entonces tienes ese$(n+1)!>(n+1)\frac{n^n}{e^n}$, por lo que es suficiente para demostrar que$(n+1)\frac{n^n}{e^n}>\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}$. ¿Puedes continuar desde aquí?

Answer 4

Sugerencia: escriba la serie para$e^n$ y elija un término relevante entre los términos positivos que componen la suma.