Rápido método para encontrar la línea tangente a una sección cónica: ¿por qué funciona?

Question

Mi maestro me enseñó este método rápido para determinar la ecuación de la línea tangente a una sección cónica. En los países Bajos, esto se llama "eerlijk delen" o traducido literalmente en inglés "reparto justo".

Aquí está un ejemplo de cómo funciona:

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia $x^2+y^2+6x-8=0$$A(1,-1)$.

La ecuación de la recta tangente es $x\cdot x_A+y\cdot y_a+3x+3x_A-8=0 \implies x-y+3x+3-8=0 \implies 4x-y-5=0$.

Este mismo método funciona con todas las secciones cónicas, pero aún sigue siendo un poco vago para mí por qué esto funciona. Alguien ha visto este método anteriormente, se utiliza a menudo, y podría alguien dar una prueba de esto?

Answer 1

Supongamos que el original de la sección cónica es

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$

La línea tangente en $(x_0,y_0)$ es

$$y-y_0=m(x-x_0)$$

Para encontrar $m$, tomar la derivada de ambos lados de la sección cónica:

$$2Ax+By+Bx\frac{dy}{dx}++2Cy\frac{dy}{dx}+D+E\frac{dy}{dx}=0$$ Resolver para $\frac{dy}{dx}$ y el enchufe en $m$:

$$y-y_0=\frac{-2Ax_0-By_0-D}{Bx_0+2Cy_0+E}(x-x_0)$$

Simplificar:

$$(2Ax_0+By_0+D)x+(Bx_0+2Cy_0+E)y-(2Ax_0^2-2Bx_0y_0-2Cy_0^2-Dx_0-Ey_0)=0$$

Utilice el hecho de que $Ax_0^2 +Bx_0y_0 +Cy_0^2+Dx_0+Ey_0+F=0$ desde $(x_0,y_0)$ es un punto de la sección cónica, podemos simplificar la ecuación más en:

$$(2Ax_0+By_0+D)x+(Bx_0+2Cy_0+E)y+Dx_0+Ey_0+2F=0\Rightarrow\\ (Ax_0+\frac{1}{2}By_0+\frac{1}{2}D)x+(\frac{1}{2}Bx_0+Cy_0+\frac{1}{2}E)y+\frac{1}{2}Dx_0+\frac{1}{2}Ey_0+F=0$$

En su caso, $B=E=0$:

$$(Ax_0+\frac{1}{2}D)x+(Cy_0)y+\frac{1}{2}Dx_0+F=0$$

que es

$$x\cdot x_0+y\cdot y_0+3x+3x_0-8=0$$

Answer 2

He aquí una manera de pensar en ella. Si usted cambia el punto a (y el resto de la curva, con la tangente de la línea) para el origen puede mirar en la parte lineal en el origen (recta tangente), para luego pasar esa línea de regreso a la A. Primer turno de Un a (0,0):

$(x+x_A)^2+(y+y_A)^2+6(x+x_A)-8=x^2+2x\cdot x_A+x_A^2+y^2+2y\cdot y_A+y_A^2+6x+6x_A-8$

Ahora mira en la parte lineal, y se obtiene la recta tangente a (desplazado a ser por el origen). La parte lineal es $2x\cdot x_A+2y \cdot y_A +6x+6x_A-8+x_A^2+y_A^2$. Cambiar el origen remonta a Una:

$2(x-x_A)x_A+2(y-y_A)y_A+6(x-x_A)+6x_A-8+x_A^2+y_A^2=2x\cdot x_A-2x_A^2+2y\cdot y_A-2y_A^2+6x-6x_A-8+x_A^2+y_A^2=2x\cdot x_A-x_A^2+2y\cdot y_A-y_A^2+6x-6x_A-8$.

Ahora uso el hecho de que $x_A^2+y_A^2+6x_A-8=0$. Usted obtener la línea de $2x \cdot x_A+2y\cdot y_A +6x+6x_A-16=x \cdot x_A+y\cdot y_A +3x+3x_A-8=0$, que es la fórmula que le dio. Usted puede repetir esto para un arbitrario cuadrática, por lo que cualquier sección cónica.