Cómo decir que dos ideales pertenecen al mismo grupo de clase ideal

Question

Potencialmente estúpida pregunta aquí: ¿Cómo puede saber si dos ideales pertenecen al mismo grupo de clase ideal?

Supongamos que estamos mirando $\textbf{Z}[\sqrt{10}]$. Tiene infinitamente muchos ideales, pero por Minkowski limitado necesitamos preocuparnos sólo por ideales con una norma de $2$ o $3$.

Mi instinto me dice $\langle 3, 1 - \sqrt{10} \rangle$ $\langle 3, 1 + \sqrt{10} \rangle$ están en la misma clase ideal, y que podría ser en conjunto mal.

Answer 1

En general, el uso de la definición de la equivalencia y demuestran que existen elementos $\alpha$$\beta$$\alpha {\mathfrak a} = \beta{\mathfrak b}$.

En el ejemplo que nos ha $(2,\sqrt{10})(3,1-\sqrt{10}) = (2 + \sqrt{10})$$(2,\sqrt{10})(3,1+\sqrt{10}) = (2 - \sqrt{10})$, del que se desprende que los dos ideales en cuestión pertenecen al mismo ideal de clase. Si usted tiene que dividir la primera ecuación por la segunda, y claro denominadores, luego de llegar $$ (2 - \sqrt{10})(3,1-\sqrt{10}) = (2 + \sqrt{10})(3,1+\sqrt{10}) , $$ que le da los elementos $\alpha$ $\beta$ mencionado anteriormente. Los ideales de la ecuación de la igualdad de $3(2,\sqrt{10})$, por el camino (mira su primer ideal de la factorización).

¿Cómo podemos encontrar estas ecuaciones? Bien, tenemos ideales de normas $2$$3$, por lo que para saber si están en la misma clase que busque elementos cuyas normas son $\pm 6$, $\pm 12$, $\pm 18$ etc.

Answer 2

El número de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$$2$. Por lo tanto estos ideales, que no son principales, debe ser equivalente.

Otro (tal vez más sistemática) es el método para explotar la conexión con la formas cuadráticas. Aquí $(a, b, c)$ (abreviación de $ax^2 + bxy + cy^2$) se asocia con el ideal de $\left(a, \frac{b - \sqrt{D}}{2}\right)$ donde $D$ es el discriminante, en este caso $40$. Así que estamos buscando formas de $(3, 2, 3)$$(3, -2, 3)$. Ahora el asociado ideales son equivalentes si y sólo si sus cuadráticas formas son equivalentes (tendrás que buscar este concepto, es fácil, pero también mucho que explicar aquí). En cualquier caso, estas formas son claramente equivalente, en general $(a, b, c)$ $(c, -b, a)$ siempre son equivalentes.