Si $P$ es un ideal primo de $R$ entonces $P[x]$ es un ideal primo de $R[x]$ , para $R$ un anillo conmutativo.

Question

Demostrar que si $P$ es un ideal primo de $R$ entonces $P[x]$ es un ideal primo de $R[x]$ .

Esto es una tarea. He estado tratando de asumir que hay un $fg$ en $P[x]$ de tal manera que ni $f$ ni $g$ está en $P[x]$ . Por lo tanto, $f$ y $g$ tienen al menos un coeficiente que no está en $P$ . Estaba tratando de mostrar que $fg$ tendría entonces un coeficiente que no está en $P$ obteniendo una contradicción. Pero no veo cómo controlar los términos. Si $f$ y $g$ sólo tenía un coeficiente que no estaba en $P$ Entonces creo que podría utilizar las propiedades del ideal para completar la prueba. El problema es no poder saber con certeza cuál de los coeficientes de $f$ y $g$ están en $P$ .

Tal vez mi enfoque es erróneo para empezar. Por favor, ayuda. Incluso una pista en la dirección correcta será muy apreciada.

Answer 1

Supongo que $R$ es conmutativo, porque el anillo de polinomios con un anillo de coeficientes no conmutativo es una bestia muy rara.

¿Puede combinar las siguientes piezas?

• Un ideal $P$ de un anillo conmutativo $R$ es primo, si el anillo cociente $R/P$ es un dominio integral.
• El anillo polinómico $R[x]$ es un dominio integral si y sólo si $R$ es.
• Existe un isomorfismo $(R/P)[x]\cong R[x]/P[x]$ .

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O bien, siguiendo su propia línea de ataque: Asumir que $f$ y $g$ son dos polinomios, ninguno en $P[x]$ . Sea $f(x)=\cdots +a x^m+\cdots$ y $g(x)=\cdots+ bx^n+\cdots$ . Supongamos que los términos resaltados $ax^m$ y $bx^n$ son el término de mayor grado con la propiedad de que los coeficientes no pertenecen al ideal $P$ . ¿Qué puede decir sobre el término de grado $m+n$ en el producto $fg$ ?

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Nota para los comentarios: se ha cambiado la notación: ideal $I$ es ahora $P$ .