Mostrando que cualquier grupo de orden 286331153 es abeliano

Question

Se trata de la tercera parte de un conjunto de problemas, de los cuales no me han solucionado 2.

He demostrado que si $p$ es primo, el grupo $Aut(\mathbb Z_p)$ $p-1$ de la orden.

Yo he demostrado que $Aut(\mathbb Z{17})$, $Aut(\mathbb Z{257})$, $Aut(\mathbb Z_{65537})$ 2 grupos.

El tercer problema es el indicado en el título; mostrando que cualquier grupo de orden $286331153$ es abeliano. El problema da la pista que $286331153 = 17\cdot257\cdot65537$.

Answer 1

Su grupo ha pedido $pqr$ $p<q<r$ de los números primos, y $pq <r$.

Deje $G$ ser un grupo finito de orden $pqr$ $pq<r$ números primos. A continuación, $G$ tiene un subgrupo normal de orden $r$: sabemos que $n_r=1+kr\mid pq$. Pero si $k\geqslant 1$, $n_r=1+kr>1+kpq\not\mid pq$, por lo $n_r=1$. Así, tenemos un cíclica normal $C$ subgrupo de orden $r$. Por supuesto, esto ha trivial intersección con los otros grupos de Sylow. Por lo tanto $G$ es un semidirect producto $C\rtimes H$ $H$ un grupo de orden $pq$.

Ahora, recuerda que si $H$ es un grupo de orden $p<q$ primos y $p\not\mid q-1$,$H\simeq C_{qp}$. Desde $17\not\mid 256$, ahora tenemos $H\simeq C_{qp}$, lo $$G=C_r\rtimes C_{qp}$$

Ahora debe descartar la posibilidad de que el semidirect producto es trivial.