Soluciones enteras positivas de$a^3 + b^3 = c$

Question

Hay alguna forma rápida de resolver por entero positivo soluciones de $$a^3 + b^3 = c$$ knowing $c$? Mi método actual es la comprobación de si $c - a^3$ es un cubo perfecto de un rango de números para $a$, pero esto lleva un montón de tiempo para números más grandes. Sé $c = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, pero no puedo pensar en una manera en que esto podría acelerar el proceso. La factorización de los números se puede hacer con bastante rapidez, pero, a continuación, los valores de $a$ $b$ tienen que ser elegidos. Esta es una pregunta anterior que tuve acerca de los números de Fibonacci. Cualquier literatura relevante es apreciado.

Answer 1

Una forma muy rápida de ver que un entero positivo $c$ no es la suma de dos cubos modulares de restricciones. La ecuación de $a^3+b^3=c$ no tiene ningún entero soluciones si $c$ satisface una de las siguientes congruencias:

$$(1) \quad c\equiv 3,4 \mod 7$$

$$(2) \quad c\equiv 3,4,5,6 \mod 9$$

$$(3) \quad c\equiv 3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,17,18,21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 38, 39, 40, 41, 42, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 57, 58, 59, 60 \mod 63$$

Por otro lado, no son propiedades intrínsecas de $c$ conocido, de tal manera que $c$ es la suma de dos cuadrados:

Teorema (Broughan 2003): Vamos a $c$ ser un entero positivo. Entonces la ecuación de $c=a^3+b^3$ tiene soluciones en los enteros positivos si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1.) Existe un divisor $d\mid c$ $c^{1/3}\le d\le 2^{2/3}c^{1/3}$ tal que

2.) para algún entero positivo $l$ tenemos $d^2-c/d=3l$ tal que

3.) el entero $d^2-4l$ es un cuadrado perfecto.

Answer 2

Así podría concentrarse en el caso de que $a$ $b$ son relativamente primos. Esto significa que $a^{2}+b^{2}-ab$ debe ser el producto de todos los números primos congruentes a $1$ (mod $3$) o $3$ veces este tipo de producto. Por lo tanto, si usted escribe $c = 3^{m-1}d\cdot3f$ donde $3^{m}$ es la potencia exacta de $3$ dividiendo $c$ $d$ es el producto de todos los primos divisores de $c$ que son congruentes a $2$ (mod $3$) (incluyendo multiplicidades), entonces si $m=0$, necesitamos expresar $f$ en la forma $x^{2}+y^{2}-xy$ para los números enteros $x$ $y$ (y esto se puede hacer). Si $m >0$, necesitamos expresar $3f$ en la forma $x^{2}+y^{2}-xy$ para los números enteros $x$ $y$ (y esto se puede hacer). Para cada una de dichas expresión (y el número de estas expresiones pueden ser calculados con precisión de la racional factorización prima de $f$), tenemos que comprobar si es o no $d = x+y$ al $m = 0$ o $3^{m-1}d = x+y$ al $m >0$.

Aunque esto es teóricamente correcto, no puedo decir que es rápido o eficiente (depende de la factorización de las propiedades de los enteros de Eisenstein $\mathbb{Z}[\omega]$ donde $\omega = e^{\frac{2 \pi i}{3}}\!\!$). Sin embargo, vamos a analizar $c = 468 = 9 \times 52$. De acuerdo con el método anterior, tenemos que expresar $39$ en la forma $x^{2}+y^{2}-xy$ para los números enteros $x$$y$, y deberíamos tener $x+y = 12$ si queremos obtener un $x^{3}+y^{3} = 468$. En esta etapa hay pocas posibilidades para comprobar y hasta la simetría, la solución es $x = 5,y = 7$. Podría ser útil tener en cuenta que en general, tenemos $(3^{m-1}d)^{2} > 3f$ al $3$ divide $c$ $d^{2} > f$ al $3$ no divide $c$, si hay alguna posibilidad de tener la solución a$c = a^{3}+b^{3}$, $a$ $b$ positivos.

Answer 3

$c=(a+b)(a^2−ab+b^2)$ debe ser realmente muy útil. Después de factoring $c$, usted encontrará todas las posibles maneras de escribir $c = xy$. Deje $x = a + b$ o $b = x - a$, por lo que

$$a^2-ab+b^2 = a^2 - a(x-a) + (x-a)^2 = 3a^2 - 3ax + x^2 = y$$

Resolver esta ecuación cuadrática de una y comprobar que a es un número entero.

Obviamente muchos factores que no necesitan ser examinados: Si mantenemos la suma de $x = a+b$ fijo, a continuación, $a^3 + b^3$ entre $x^3/4$$x^3$, lo $x$ debe ser de entre $c^{1/3}$$(4c)^{1/3}$.

Después de leer los posts anteriores, esta parece ser la publicación de un resultado, que se citan (Broughan, 2003). Había una mirada en el papel. Oh, bueno, usted puede hacer este complicado.

Para los no muy grande c, decir $c < 10^9$, fuerza bruta puede ser más rápido: sea a = 0, b = $c^{1/3}$, redondeado hacia abajo. Mientras $a^3 + b^3 < c$ aumento de un 1. Si $a^3 + b^3 = c$ nota de que has encontrado una solución. A continuación, disminución de b por 1, repetir hasta que $a > b$.