Cualquier dos$n$ - ciclos se conjugan en$A_{n+2}$ si$n$ es impar

Question

¿Cómo se podría probar el reclamo en el título?

Veo que si$\alpha,\beta$ son$n$ - cycles y$\alpha,\beta$ permute$A,B\subset \{1,\dots, n+2\}$ respectivamente, entonces$\overline{A\bigcap B}$ tiene tamaño$0,\, 2$ o$4$. Si$0$, entonces hay una permutación impar$\alpha=(a_1\cdots a_n)\to \beta=(b_1\cdots b_n)$ definida por$a_i\mapsto b_i$. Esta permutación se debe a que$\{a_i:\;a_i=b_i\}$ debe tener un tamaño par.

No puedo ver por qué sigue siendo cierto si$\overline{A\bigcap B}$ tiene el tamaño$2$. ¿Estoy yendo por la ruta correcta?

Answer 1

En el caso que proporcione, ambos ciclos permutan los mismos elementos$n$, y se conjugan dentro del grupo$S_n$ en esos elementos. Si están conjugadas en$S_n$ con una permutación uniforme, ya terminaste. Si la permutación es impar, entonces hay dos elementos más en$A_{n+2}$ para crear una transposición, que convierte su permutación impar en una par, y como$\tau^2=1$ para una transposición no afecta la conjugación .