$l^2+m^2=n^2$ $\implies$ $lm$ es siempre un múltiplo de 3 cuando $l,m,n,$ son números enteros positivos.

Question

Que $l,m,n$ ser cualquier tres positivo números enteros tales que $l^2+m^2=n^2$

Luego demostrar que $lm$ es siempre un múltiplo de 3.

Answer 1

Mostramos que $3$ debe divde $lm$, #% divide a demostrando que $3$% #% o divide a $l$ $3$.

Cualquier número entero $m$ sea divisible por $x$, o es congruente con $3$ o $1$ modulo $-1$. Y iff $3$, entonces el $x\equiv \pm 1\pmod{3}$.

Así si ni $x^2\equiv 1 \pmod{3}$ ni $l$ es divisible por $m$, entonces el $3$. Sigue que $l^2+m^2\equiv 2\pmod{3}$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 2

Aquí le damos otro enfoque. La solución general de esta ecuación es:

$l = x^2 - y^2$, $m = 2xy$, $n = x^2 + y^2$. Entonces: $l\cdot m = 2\cdot (x^2 - y^2)\cdot x\cdot y = 2\cdot (x - y)\cdot (x + y) \cdot x\cdot y$. De esta forma, tenemos algunos casos consdier:

1. $3|x$ $3|y$ y $3|l\cdot m$.
2. $3 \not|x$ y $3\not|y$ entonces si $x \equiv y \pmod 3$ y $3|(x - y)$ y $(x - y)|l\cdot m$, que $3|l\cdot m$, pero si $x \neq y \pmod 3$, entonces el $x + y \equiv 0 \pmod 3$, y esto implica que el $3|l\cdot m$

Answer 3

La cuadrática reside modulo % son de $3$$0$y $1$. En otras palabras, cada uno de los $l^2, m^2$ debe ser equivalente al o $ 0, 1\pmod3$.

Sin embargo, $l^2$ y $m^2$ no pueden ser equivalentes a $1$ modulo 3, porque su suma, $n^2$, un cuadrado perfecto, sería equivalente a $2\pmod3$, un no-residuo cuadrático.

Por lo tanto, al menos uno de $l^2, m^2$ debe ser equivalente a $0\pmod3$. Como tal $l^2m^2 = (lm)^2 \equiv 0\pmod 3$. Por el lema de Euclides, $lm \equiv 0 \pmod 3$.