La función $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ , $x\mapsto |x|^p$ (donde $p>1$ ) es convexa y, por tanto, la desigualdad $$|y|^p-|x|^p\ge p(y-x)\cdot x |x|^{p-2}$$ es válido. En algunos apuntes de Peter Lindqvist, se señala que esta desigualdad puede reforzarse a $$|y|^p-|x|^p\ge p(y-x)\cdot x |x|^{p-2} + C(p) |y-x|^p$$ (por supuesto $C(p)>0$ ) al menos para $p>2$ . ¿Alguien conoce una prueba de esta desigualdad?
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(Estoy ampliando mi comentario).
Se trata de un problema bidimensional. Se puede suponer $x=(1,0)$ , $y=(1+\alpha, \beta)$ con $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=:r$ . Entonces $$|y|^p-|x|^p=((1+\alpha)^2 +\beta^2)^{p/2}-1\ ,\qquad p(y-x)\cdot x |x|^{p-2}=p\alpha\ .$$ De ello se deduce que tenemos que demostrar una desigualdad de la forma $$(1+2\alpha+r^2)^{p/2}\geq 1 + p\alpha + Cr^p \qquad\qquad (1)$$ para un adecuado $C$ y podemos suponer $p\geq2$ .
Poniendo $r:=0$ en (1) la declaración dice $(1+2\alpha)^{p/2}\geq 1 + p\alpha$ y esto es cierto para $p\geq2$ por la desigualdad de Bernoulli. Ahora la derivada del lado izquierdo de (1) con respecto a $r$ es $${p\over 2}(1+2\alpha +r^2)^{p/2 -1}\ 2r\geq {p\over 2}r^{p-2}\ 2r=pr^{p-1}\ ,$$ y la derivada del lado derecho de (1) con respecto a $r$ es $Cp r^{p-1}$ . Así que si $C=1$ el lado izquierdo de (1) crece más rápido con $r$ que el lado derecho. Se deduce que (1) es cierto con $C=1$ .
