Dado cualquier extendido valores de $f$$(-\infty,+\infty)$, demostrar que existe una contables set $D$ con la siguiente propiedad. Para cada una de las $t\in\mathbb R$, existen $t_n\in D$, $t_n\to t$ tal que $f(t)=\lim_{n\to\infty}{f(t_n)}$. La afirmación sigue siendo cierto si "$t_n\to t$" se sustituye por "$t_n\downarrow t$" o "$t_n\uparrow t$".
Este es un ejercicio de Kai Lai Chung Un curso en Teoría de la Probabilidad, y una sugerencia:"Considere la gráfica de $(t,f(t))$ e introducir una métrica."
Creo que es similar al hecho de que $\mathbb R^n$ es separable, pero lo métrica debemos definir en el gráfico?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted realmente no necesita una métrica en $G$; usted sólo necesita saber que si $\Bbb R^*$ es la extendida reales con su habitual topología, a continuación, $\Bbb R\times\Bbb R^*$ es segundo contable y, por tanto, hereditariamente separables. Si usted desea hacer una métrica explícita, se observa que la $\Bbb R^*$ es homeomórficos a un intervalo cerrado; por ejemplo, es homeomórficos a $[-1,1]$ a través del mapa
$$h:\Bbb R^*\a[-1,1]:x\mapsto\begin{cases} -1,&\text{if }x=-\infty\\ \frac2{\pi}\tan^{-1}x,&\text{if }x\in\Bbb R\\ 1,&\text{if }x=\infty\;. \end{casos}$$
Deje $G\subseteq\Bbb R\times\Bbb R^*$ ser la gráfica de $f$; es decir,, $G=\{\langle t,f(t)\rangle:t\in\Bbb R\}$. $G$ es separable, por lo que hay una contables $E\subseteq G$ tal que $\operatorname{cl}E\supseteq G$. Deje $D=\{t\in\Bbb R:\langle t,f(t)\rangle\in E\}$.
Deje $t\in\Bbb R$ ser arbitraria. A continuación, hay una secuencia $\langle e_n:n\in\Bbb N\rangle$ $E$ convergentes a$\langle t,f(t)\rangle$$G$. Para $n\in\Bbb N$ deje $t_n\in D$ ser tal que $e_n=\langle t_n,f(t_n)\rangle$; a continuación,$f(t)=\lim_nf(t_n)$.
